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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版高考专题突破五第1课时范围、最值问题学案

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高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 第1课时 范围、最值问题 题型一 范围问题 例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.‎ 解 (1)∵双曲线的离心率为,‎ ‎∴椭圆的离心率e==.‎ 又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,‎ ‎∴右顶点为点(2,0),即a=2,c=,b=1,‎ ‎∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),‎ M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 联立 消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.‎ 又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,‎ 故·==k2,‎ 则-+m2=0.‎ 由m≠0得k2=,解得k=±.‎ 又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)‎ ‎=16(4k2-m2+1)>0,得00,‎ ‎∴y1+y2=-,y1y2=.②‎ ‎∴|AB|= ‎=,‎ 将①②代入上式得 ‎|AB|= =,|m|≥1,‎ ‎∴S△AOB=|AB|·1=· ‎=≤=1,‎ 当且仅当|m|=,即m=±时,等号成立,‎ ‎∴△AOB面积的最大值为1.‎ 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.‎ 跟踪训练2 (2018·锦州模拟)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.‎ ‎(1)求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).‎ 解 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为 y=-x+b.由 消去y,得x2-x+b2-1=0.‎ 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①‎ 将AB的中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-, ②‎ 由①②得m<-或m>.‎ ‎(2)令t=∈∪,‎ 则t2∈.‎ 则|AB|=·,‎ 且O到直线AB的距离为d=.‎ 设△AOB的面积为S(t),‎ 所以S(t)=|AB|·d= ≤,‎ 当且仅当t2=时,等号成立,‎ 此时满足t2∈.‎ 故△AOB面积的最大值为.‎ ‎1.已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则x0的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由题意可知,F1(-,0),F2(,0),‎ 则·=(x0+)(x0-)+y=x+y-3<0,‎ 点P在椭圆上,则y=1-,‎ 故x+-3<0,解得-b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以≤e<1,故选A.‎ ‎5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 A 解析 由题意可得F,设P(y0>0),‎ 则=+=+=+(-)‎ ‎=+=,‎ 可得k==≤=.‎ 当且仅当=时取得等号,故选A.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,点P是C的准线l上的动点,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则△AOB面积的最小值为(  )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 答案 B 解析 设P(x0,-1),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 又A,B在抛物线上,所以y1=,y2=.‎ 因为y′=,‎ 则过点A,B的切线分别为y-=(x-x1),y-=(x-x2)均过点P(x0,-1),‎ 则-1-=(x0-x1),-1-=(x0-x2),即x1,x2是方程-1-=(x0-x)的两根,则x1+x2=2x0,x1x2=-4,设直线AB的方程为y=kx+b,联立得x2-4kx-4b=0,则x1x2=-4b=-4,‎ 即b=1,|AB|=|x1-x2|‎ ‎=· ‎=·,‎ O到直线AB的距离d=,‎ 则S△AOB=|AB|d=≥2,‎ 即△AOB的面积的最小值为2,故选B.‎ ‎7.椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值等于________.‎ 答案 7‎ 解析 因为椭圆C的离心率为,所以=,‎ 解得a=2,由椭圆定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,‎ 即|AF2|+|BF2|=8-|AB|,‎ 而由焦点弦性质,知当AB⊥x轴时,|AB|取最小值2×=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值等于8-1=7.‎ ‎8.(2018·沈阳模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,如果|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.‎ 答案 (0,]‎ 解析 由双曲线的定义及题意可得  解得 又|PF1|+|PF2|≥2c,‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=+≥2c,‎ 整理得e=≤=1+,‎ ‎∵10,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为16,则的最大值为________.‎ 答案  解析 由题意,得△ABF2的周长为32,‎ ‎∴|AF2|+|BF2|+|AB|=32,‎ ‎∵|AF2|+|BF2|-|AB|=4a,|AB|=,‎ ‎∴=32-4a,∴b=(0b>0)的一个顶点坐标为B1(0,),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如图,点P是该椭圆内一点,四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P,设直线AB:y=x+m,记g(m)=S,求f(m)=g(m)-m3+4m-3的最大值.‎ 解 (1)顶点坐标为B1(0,),b2=2,=,‎ 椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)联立lAB与椭圆方程 整理得3x2+4mx+2m2-4=0,‎ Δ=48-8m2>0,即m2<6,‎ 又直线AB不过点P,得m≠.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ x1+x2=,x1x2=,‎ ‎|x1-x2|=,‎ 设点P到直线AB的距离为d,‎ g(m)=d2|AB|2=··2· ‎=,‎ f(m)= ‎=·2m2≤·2=(当且仅当m2=时取等号),‎ 所以f(m)max=,‎ 此时m= ±∈∪.‎ ‎13.已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,与x轴平行的直线交Γ于B,C两点,记∠BAC=θ,若Γ的离心率为,则(  )‎ A.θ∈ B.θ= C.θ∈ D.θ= 答案 B 解析 ∵e==,∴c=a,∴b2=c2-a2=a2,‎ ‎∴双曲线方程可变形为x2-y2=a2.设B(x0,y0),由对称性可知C(-x0,y0),∵点B(x0,y0)在双曲线上,‎ ‎∴x-y=a2.∵A(a,0),∴=(x0-a,y0),=(-x0-a,y0),∴·=(x0-a)·(-x0-a)+y=a2-x+y=0,∴⊥,即θ=.故选B.‎ ‎14.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为__________.‎ 答案 6‎ 解析 点P为椭圆+=1上的任意一点,‎ 设P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2),‎ 由题意得左焦点F(-1,0),‎ ‎∴=(x,y),=(x+1,y),‎ ‎∴·=x(x+1)+y2=x2+x+ ‎=·2+.‎ ‎∵-3≤x≤3,∴≤x+≤,‎ ‎∴≤2≤,‎ ‎∴≤2≤,‎ ‎∴6≤·2+≤12,‎ 即6≤·≤12.故最小值为6.‎ ‎15.如图,由抛物线y2=12x与圆E:(x-3)2+y2=16的实线部分构成图形Ω,过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点,则|AB|的取值范围为(  )‎ A.[4,5] B.[7,8] C.[6,7] D.[5,6]‎ 答案 B 解析 由题意可知抛物线y2=12x的焦点为F(3,0),圆(x-3)2+y2=16的圆心为E(3,0),因此点P,F,E三点重合,所以|PA|=4,设B(x0,y0),则由抛物线的定义可知|PB|=x0+3,由得(x-3)2+12x=16,整理得x2+6x-7=0,解得x1=1,x2=-7(舍去),设圆E与抛物线交于C,D两点,所以xC=xD=1,因此0≤x0≤1,又|AB|=|AP|+|BP|=4+x0+3=x0+7,所以|AB|=x0+7∈[7,8],故选B.‎ ‎16.(2018·南昌测试)已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)与抛物线E:y2=2px(p>0)的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.‎ ‎(1)求椭圆C及抛物线E的方程;‎ ‎(2)设过F且互相垂直的两动直线l1,l2,l1与椭圆C交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.‎ 解 (1)∵P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,∴p=2,即抛物线E的方程为y2=4x,F(1,0),‎ ‎∴a2-b2=1.‎ 又∵P在椭圆C:+=1上,‎ ‎∴+=1,结合a2-b2=1知b2=3(舍负),a2=4,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1,‎ 抛物线E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题意可知直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).‎ ‎①当k=0时,|AB|=4,直线l2的方程为x=1,|CD|=4,故S四边形ACBD=·|AB|·|CD|=8.‎ ‎②当k≠0时,直线l2的方程为y=-(x-1),‎ 由 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=.‎ 由弦长公式知|AB|=|x1-x2|‎ ‎= ‎=.‎ 同理可得|CD|=4(k2+1).‎ ‎∴S四边形ACBD=·|AB|·|CD|‎ ‎=··4(k2+1)‎ ‎=.‎ 令t=k2+1,t∈(1,+∞),‎ 则S四边形ACBD===,‎ 当t∈(1,+∞)时,∈(0,1),‎ ‎-2+4<3,S四边形ACBD>=8.‎ 综上所述,四边形ACBD面积的最小值为8.‎

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