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- 2021-06-16 发布
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高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1 (2018·鞍山质检)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解 (1)∵双曲线的离心率为,
∴椭圆的离心率e==.
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为点(2,0),即a=2,c=,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故·==k2,
则-+m2=0.
由m≠0得k2=,解得k=±.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得00,
∴y1+y2=-,y1y2=.②
∴|AB|=
=,
将①②代入上式得
|AB|= =,|m|≥1,
∴S△AOB=|AB|·1=·
=≤=1,
当且仅当|m|=,即m=±时,等号成立,
∴△AOB面积的最大值为1.
思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
跟踪训练2 (2018·锦州模拟)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为
y=-x+b.由
消去y,得x2-x+b2-1=0.
因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①
将AB的中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-, ②
由①②得m<-或m>.
(2)令t=∈∪,
则t2∈.
则|AB|=·,
且O到直线AB的距离为d=.
设△AOB的面积为S(t),
所以S(t)=|AB|·d= ≤,
当且仅当t2=时,等号成立,
此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
1.已知P(x0,y0)是椭圆C:+y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知,F1(-,0),F2(,0),
则·=(x0+)(x0-)+y=x+y-3<0,
点P在椭圆上,则y=1-,
故x+-3<0,解得-b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以≤e<1,故选A.
5.(2018·丹东调研)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
答案 A
解析 由题意可得F,设P(y0>0),
则=+=+=+(-)
=+=,
可得k==≤=.
当且仅当=时取得等号,故选A.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=4y,点P是C的准线l上的动点,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则△AOB面积的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
答案 B
解析 设P(x0,-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
又A,B在抛物线上,所以y1=,y2=.
因为y′=,
则过点A,B的切线分别为y-=(x-x1),y-=(x-x2)均过点P(x0,-1),
则-1-=(x0-x1),-1-=(x0-x2),即x1,x2是方程-1-=(x0-x)的两根,则x1+x2=2x0,x1x2=-4,设直线AB的方程为y=kx+b,联立得x2-4kx-4b=0,则x1x2=-4b=-4,
即b=1,|AB|=|x1-x2|
=·
=·,
O到直线AB的距离d=,
则S△AOB=|AB|d=≥2,
即△AOB的面积的最小值为2,故选B.
7.椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值等于________.
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为,所以=,
解得a=2,由椭圆定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,
即|AF2|+|BF2|=8-|AB|,
而由焦点弦性质,知当AB⊥x轴时,|AB|取最小值2×=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值等于8-1=7.
8.(2018·沈阳模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,如果|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________.
答案 (0,]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|+|PF2|≥2c,
∴|PF1|+|PF2|=+≥2c,
整理得e=≤=1+,
∵10,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为16,则的最大值为________.
答案
解析 由题意,得△ABF2的周长为32,
∴|AF2|+|BF2|+|AB|=32,
∵|AF2|+|BF2|-|AB|=4a,|AB|=,
∴=32-4a,∴b=(0b>0)的一个顶点坐标为B1(0,),离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,点P是该椭圆内一点,四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P,设直线AB:y=x+m,记g(m)=S,求f(m)=g(m)-m3+4m-3的最大值.
解 (1)顶点坐标为B1(0,),b2=2,=,
椭圆方程为+=1.
(2)联立lAB与椭圆方程
整理得3x2+4mx+2m2-4=0,
Δ=48-8m2>0,即m2<6,
又直线AB不过点P,得m≠.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=,x1x2=,
|x1-x2|=,
设点P到直线AB的距离为d,
g(m)=d2|AB|2=··2·
=,
f(m)=
=·2m2≤·2=(当且仅当m2=时取等号),
所以f(m)max=,
此时m= ±∈∪.
13.已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,与x轴平行的直线交Γ于B,C两点,记∠BAC=θ,若Γ的离心率为,则( )
A.θ∈ B.θ=
C.θ∈ D.θ=
答案 B
解析 ∵e==,∴c=a,∴b2=c2-a2=a2,
∴双曲线方程可变形为x2-y2=a2.设B(x0,y0),由对称性可知C(-x0,y0),∵点B(x0,y0)在双曲线上,
∴x-y=a2.∵A(a,0),∴=(x0-a,y0),=(-x0-a,y0),∴·=(x0-a)·(-x0-a)+y=a2-x+y=0,∴⊥,即θ=.故选B.
14.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最小值为__________.
答案 6
解析 点P为椭圆+=1上的任意一点,
设P(x,y)(-3≤x≤3,-2≤y≤2),
由题意得左焦点F(-1,0),
∴=(x,y),=(x+1,y),
∴·=x(x+1)+y2=x2+x+
=·2+.
∵-3≤x≤3,∴≤x+≤,
∴≤2≤,
∴≤2≤,
∴6≤·2+≤12,
即6≤·≤12.故最小值为6.
15.如图,由抛物线y2=12x与圆E:(x-3)2+y2=16的实线部分构成图形Ω,过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点,则|AB|的取值范围为( )
A.[4,5] B.[7,8] C.[6,7] D.[5,6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2=12x的焦点为F(3,0),圆(x-3)2+y2=16的圆心为E(3,0),因此点P,F,E三点重合,所以|PA|=4,设B(x0,y0),则由抛物线的定义可知|PB|=x0+3,由得(x-3)2+12x=16,整理得x2+6x-7=0,解得x1=1,x2=-7(舍去),设圆E与抛物线交于C,D两点,所以xC=xD=1,因此0≤x0≤1,又|AB|=|AP|+|BP|=4+x0+3=x0+7,所以|AB|=x0+7∈[7,8],故选B.
16.(2018·南昌测试)已知P是椭圆C:+=1(a>b>0)与抛物线E:y2=2px(p>0)的一个公共点,且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.
(1)求椭圆C及抛物线E的方程;
(2)设过F且互相垂直的两动直线l1,l2,l1与椭圆C交于A,B两点,l2与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
解 (1)∵P是抛物线E:y2=2px(p>0)上一点,∴p=2,即抛物线E的方程为y2=4x,F(1,0),
∴a2-b2=1.
又∵P在椭圆C:+=1上,
∴+=1,结合a2-b2=1知b2=3(舍负),a2=4,
∴椭圆C的方程为+=1,
抛物线E的方程为y2=4x.
(2)由题意可知直线l1斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①当k=0时,|AB|=4,直线l2的方程为x=1,|CD|=4,故S四边形ACBD=·|AB|·|CD|=8.
②当k≠0时,直线l2的方程为y=-(x-1),
由
得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.
∴x1+x2=,x1x2=.
由弦长公式知|AB|=|x1-x2|
=
=.
同理可得|CD|=4(k2+1).
∴S四边形ACBD=·|AB|·|CD|
=··4(k2+1)
=.
令t=k2+1,t∈(1,+∞),
则S四边形ACBD===,
当t∈(1,+∞)时,∈(0,1),
-2+4<3,S四边形ACBD>=8.
综上所述,四边形ACBD面积的最小值为8.