河南省许昌市魏都区许昌高级中学2019-2020学年高二上学期尖子生期初考试数学（文）试题 16页

许昌高中2021届高二尖子生上学期期初考试 数学试题（文科）‎ 一、选择题 ‎1.已知等差数列的通项公式为， 则它的公差为 （ ）‎ A. 2 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由可得，所以公差．故C正确．‎ 考点：等差数列的定义．‎ ‎2.在△ABC中，若，则A与B的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. A、B的大小关系不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为在中，，利用正弦定理，则可知a>b，那么再利用大边对大角，因此选A.‎ ‎3.已知，则取最大值时的值为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 配凑成和为定值，再利用均值不等式。‎ ‎【详解】当且仅当即 时取等，所以选A.‎ ‎【点睛】法一：构造和为定值，再利用均值不等式。‎ 法二：根据函数的单调性求解。‎ ‎4.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线 ‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项．‎ ‎【详解】解：由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，‎ 综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案．‎ ‎5.已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有偶数项减所有的奇数项=10d ‎【详解】，选B.‎ ‎【点睛】每一个偶数项前面都有一个奇数项，他们的差值为d.‎ ‎6.设是由正数组成的等比数列，且，那么的值是().‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 同底对数相加，真数相乘。利用等比数列性质计算 ‎【详解】‎ 又 所以 故选B ‎【点睛】本题考查同底对数的运算，等差数列的性质，属于基础题。‎ ‎7.下列推理错误的是（）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ABC正确，当c=0时D错误 ‎【详解】A选项：在两边同时除以ab得到，正确 B选项:又所以有，正确。‎ C选项: 又，所以有即正确 D选项：当c=0时不成立，错误 故选D ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题。‎ ‎8.已知非零向量，若，则与的夹角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为θ，这样根据 即可求出cosθ，进而得出θ的值．‎ ‎【详解】因 ‎∴t=4；‎ ‎∴，，‎ 设与的夹角为θ，则：，‎ ‎∴‎ 故答案：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎9.在中，，则的形状为（）‎ A. 正三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用倍角公式降次，后化简，再利用 展开化简即得出答案 ‎【详解】‎ ‎，选D.‎ ‎【点睛】根据所给式子判断三角形的形状，利用正余弦定理将边化角或者角化边化简式子。‎ ‎10.若的解集为，则对于函数，有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系可得且，从而将函数化为；根据开口方向和自变量距离对称轴的距离远近可得到函数值的大小关系.‎ ‎【详解】由题意知：和为的两根且 ‎，解得： ‎ 为开口向上的二次函数，对称轴为：‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数值的比较问题，关键是能够根据一元二次不等式与一元二次方程的关系将函数化为二次函数，根据二次函数的对称性和单调性得到函数值的大小关系.‎ ‎11.如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为（）‎ A. 海里/时 B. 海里/时 C. 海里/时 D. 海里/时 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN.‎ ‎【详解】，‎ 在 中有 ‎ 海里/时，选A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的使用，属于简单题。‎ ‎12.数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　）‎ A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由于数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，‎ a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．‎ 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，‎ a16+a14=56，…‎ 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，‎ 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．‎ ‎{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，‎ 故选D．‎ 二、填空题(共20分）‎ ‎13.函数的定义域为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的定义域.‎ ‎【详解】函数有意义，则：，解得：，‎ 据此可得，函数的定义域为：.‎ ‎【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎14.已知数列满足，，其前项和为，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系式可验证出数列自第二项起，是以为周期的周期数列，从而将化为，整理可得结果.‎ ‎【详解】当时，；当时，；‎ 当时，；当时，，……‎ 以此类推，可知数列自第二项起，是以为周期的周期数列 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据数列递推关系式判断周期数列的问题，易错点是忽略所求数列是自第二项开始为周期数列.‎ ‎15.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.‎ 考点：1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.‎ ‎16.已知中，角的对边分别为，满足.若，则周长的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边化角解出A角，在利用再利用正弦定理角化边求出周长最大值。‎ ‎【详解】利用正弦定理 有：‎ 所以， ,‎ 又 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎【点睛】一般求周长或面积的最值，将其转化为求三角函数的最值问题。‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.已知在中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小：‎ ‎（2）若，．求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．‎ 详解：在中，由正弦定理得． ‎ 即，又角为三角形内角，，‎ 所以，即，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）在中，由余弦定理得：，‎ 则． 即．‎ 解得（舍）或．‎ 所以．·‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎18.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．‎ ‎（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；‎ ‎（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?‎ ‎【答案】（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造价最低，最低造价为268800元.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，‎ 其容积4 800立方米，深度为3米．‎ 可得底面积为1600，池壁面积s=.‎ ‎（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．‎ 设池底长方形长为x米，‎ 则可知总造价s=,x=40时，‎ 则.‎ 故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,‎ 最低造价是268800元.‎ 考点：不等式求解最值 点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.‎ ‎19.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求和：．‎ ‎【答案】（1）an=2n−1.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.‎ 解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为q.‎ 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.‎ 所以.‎ 从而.‎ ‎【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,‎ 等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. ‎ ‎20.某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月2日 ‎4月3日 ‎4月4日 ‎4月5日 温差 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎12‎ 发芽数（颗）‎ ‎38‎ ‎30‎ ‎24‎ ‎41‎ ‎17‎ 利用散点图，可知线性相关。‎ ‎（1）求出关于的线性回归方程，若4月6日星夜温差，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；‎ ‎（2）若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.‎ ‎（公式：）‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出温差x和发芽数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，得到线性回归方程；再令x＝5时，得y值；（2）利用列举法求出基本事件的个数，即可求出事件“这两组恰好是不相邻两天数据”的概率．‎ ‎【详解】（1） ，，．‎ ‎，，．‎ 由公式，求得，．‎ 所以y关于x的线性回归方程为,当， ‎ ‎（2）设五组数据为1,2,3,4,5则所有取值情况有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件总数为10．‎ 设“这两组恰好是不相邻两天数据”为事件A，则事件A包含的基本事件为（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P（A），故事件A的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查求线性回归方程，考查古典概型概率的计算，准确计算是关键，属于中档题．‎ ‎21.在等比数列中，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2），,数列的前项和，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列通项公式可求得公比，根据可得到结果；（2）根据（1）的结论得到，采用裂项相消法求得；根据的单调性即可证得结论.‎ ‎【详解】（1）设等比数列公比为，则，解得：‎ ‎（2）由（1）知：‎ 单调递增且 ‎ 又 ‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够通过数列的通项公式确定采用裂项相消法求解数列的前项和，属于常考题型.‎ ‎22.已知集合P＝，函数的定义域为Q.‎ ‎（Ⅰ）若PQ ，求实数的范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.‎ ‎【答案】 (1) （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （Ⅱ）由题得在有解，即求的值域得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）P＝，PQ，不等式在 上有解，由得，而， ‎ ‎（Ⅱ） 在有解，即求的值域，‎ 设 ‎【点睛】（1）本题主要考查集合的运算，考查不等式的有解问题和方程的有解问题，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2), ‎ ‎ ‎