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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020年高考真题——新高考全国II卷(word版含答案)

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‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 数 学 ‎1.设集合,,则( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】C ‎2.( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎3.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去个场馆,甲场馆安排名,乙场馆安排名,丙场馆安排名,则不同的安排方法共有( )‎ A.种 B.种 C.种 D.种 ‎【答案】C ‎4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间,把地球看成一个球(球心记为),地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面,在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬,则晷针与点处的水平面所成角为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B ‎5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有的学生喜欢足球或游泳,的学生喜欢足球,的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】C ‎6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行学基本参数,基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指间隔相邻两代间传染所需的平均时间,在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数随时间(单位:天)的规律,指数增长率与,近似满足,有学者基于已有数据估计出,,据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加倍需要的时间约为()( )‎ A.天 B.天 C.天 D.天 ‎【答案】B ‎7.已知是边长为的正六边形内的一点,则的取值范围是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】A ‎8.若定义在的奇函数在单调递减,且,则满足的的取值范围是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎9.已知曲线( )‎ A.若,则是椭圆,其焦点在轴上 B.若,则是圆,其半径为 C.若,则是双曲线,其渐近线方程为 D.若,,则是两条直线 ‎【答案】A、C、D ‎10.下图是函数的部分图像,则( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】B、C ‎11.已知,,且,则( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】A、B、D ‎12.信息熵是信息论中的一个重要概念,设随机变量所有可能的取值为,且,,定义的信息熵( )‎ A.若,则 B.若,则随着的增大而增大 C.若,则随着的增大而增大 D.若,随机变量所有可能的取值为,,…,,且 ‎,则 ‎【答案】A、C ‎13.斜率为的直线过抛物线的焦点,且与交于,两点,则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎14.将数列与的公共项从小到大排列得到数列,则的前项和为 .‎ ‎【答案】‎ ‎15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示,为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与直线的切点,是圆弧与直线的切点,四边形为矩形,,垂足为,,,,,到直线和的距离均为,圆孔半径为,则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎16.已知直四棱柱的棱长均为,,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为 .‎ ‎【答案】‎ ‎17.在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值,若问题中的三角形不存在,说明理由.‎ 问题:是否存在,它的内角,,的对边分别为,,,且,?‎ 解:①选条件,∵,∴,∵,∴,,,又,即,‎ ‎∴,∴,得,‎ ②选条件,,∵,∴,,∴,‎ ‎∵,∴,∴,‎ 又,∴,‎ ③选条件,∵,∵,∴,‎ 又,∴,‎ 得,不成立.所以三角形不存在.‎ ‎18.已知公比大于的等比数列满足,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和.‎ 解:(1)设公比为,∴,,解得或(舍),‎ ‎∴.‎ ‎(2)由(1)可得,∴,,…,,,‎ ‎∴当时,;当时,;‎ 当时,;当时,;‎ 当时,;当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ ‎19..为加强环境保护,治理空气污染,环境检测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了天空气中的和浓度(单位:),得下表:‎ ‎(1)估计事件“该市一天空气中浓度不超过,且浓度不超过”的概率.‎ ‎(2)根据所给数据,完成下面的列联表:‎ ‎(3)根据(2)中的列联表,判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关?‎ 附:,‎ 解:(1)由表格可得浓度不超过且浓度不超过的天数有天.‎ ‎∴概率为.‎ ‎(2)‎ ‎(3).‎ ‎∴有的把握认为的浓度与浓度有关.‎ ‎20.如图,四棱锥的底面为正方形,底面,,设平面与平面的交线为.‎ ‎(1)证明:平面.‎ ‎(2)已知,为上的点,求与平面所成角的正弦值的最大值.‎ ‎(1)证明:平面平面,平面,∴,∵平面,∴,∵正方形,∴,又,∴平面,∴平面.‎ ‎(2)解:以为原点,,为,,轴,建立空间直角坐标系,则,,,,设平面的法向量为,点坐标为,∴,即,令,得,∴,∵,∴,‎ 得,令,得,‎ 有,得,‎ ‎∴的最大值为,∴与平面所成角的正弦最大值为.‎ ‎21.已知椭圆过点,点为其左顶点,且的斜率为.‎ ‎(1)求的方程; ‎ ‎(2)点为椭圆上任意一点,求的面积的最大值.‎ 解:(1)根据题意,把点代入椭圆得到①,‎ 设,又,∴,代入①式,求得,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)由题意,可知的直线方程为,‎ 设直线与椭圆相切于点,,‎ 联立方程组得,,得,由题意可知时,面积最大,直线与直线距离,,‎ ‎∴.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)当时,求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 解:(1)当时,,∵,‎ ‎∴,又,‎ 则在点处的切线方程为,即,‎ 令,则,令,则,‎ 故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.‎ ‎(2)∵,即,∴,‎ ‎∴,∴,故,‎ 令,则上式转化为,又,‎ ‎∴在单调递增,由可知总有,则,令,则,‎ ‎∴当时,,此时单调递增,‎ 当时,,此时单调递减,‎ ‎∴,∴.‎ ‎ ‎