天津市静海区第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 14页

高一数学（期中）‎ 一、选择题: 每小题4分，共28分.‎ ‎1.复数对应的点落在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则化简复数，根据复数的几何意义即可求得对应点，即可判断.‎ ‎【详解】因为，‎ 故其对应的点为，‎ 容易知其位于第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.‎ ‎2.在中，、、分别为角、、的对边，它的面积为，则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用面积公式，借助余弦定理，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为，且，‎ 故可得，即，‎ 又因为，故可得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属综合基础题.‎ ‎3.已知正方体的个顶点中，有 个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 所求全面积之比为： ，故选A.‎ ‎4.已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，在长方体中找到满足题意的三棱锥，求得长方体外接球的表面积即为所求.‎ ‎【详解】根据题意，可在长方体中找到满足题意的三棱锥，如下图所示：‎ 故该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，‎ 又长方体的长宽高可以为，‎ 则外接球半径.‎ 故其表面积.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的求解，属基础题.‎ ‎5.已知中，为边的两个三等分点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 用基向量表示出目标向量，利用向量的数量积运算，即可求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，由平面向量的定比分点可得：‎ ‎，‎ 故可得 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查用基向量表示平面向量，以及向量的数量积运算，属综合基础题.‎ ‎6.复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. 3 D. -7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得，再利用复数运算法则，化简复数后，求其虚部即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 故，‎ 故其虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数的乘法运算，复数的模长求解，以及虚部的辨识，属综合基础题.‎ ‎7.在锐角三角形ABC中，若，且满足关系式，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求得，构造的函数，通过求三角函数的值域，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 又，故可得.‎ 因为，故可得 整理得，则.‎ 故可得，‎ 因为，故可得.‎ 则 故可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的范围问题，涉及正弦的和角公式，属综合困难题.‎ 二、填空题：每小题5分，共25分.‎ ‎8.已知向量，若与共线，则等于_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件，即可求的与的坐标，根据向量共线的坐标公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 故可得，，‎ 因为与共线，‎ 故可得，即可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量坐标的运算，以及由向量共线求参数值，属基础题.‎ ‎9.已知复数z满足(z－2)i＝1＋2i(i是虚数单位)，则复数z的模为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算，即可求得复数，则模长得解.‎ ‎【详解】因为(z－2)i＝1＋2i，故可得.‎ 故可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，以及复数模长的求解，属综合基础题.‎ ‎10.在中，角所对的边分别为，若，，则=______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得 ‎【详解】因为，故可得；‎ 因为，故可得；‎ 综合即可求得.‎ 由余弦定理可得.‎ 又因为，故可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理将角化边，以及用余弦定理解三角形，属综合中档题.‎ ‎11.已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为，‎ 设圆锥母线长为，则可得，解得.‎ 故可得圆锥的侧面积.‎ 则表面积为 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题.‎ ‎12.如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，用解析法将目标式转化为函数，求得函数的值域，即可求得结果.‎ ‎【详解】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：‎ 由题可知，，‎ 设，，故可得，‎ 则，‎ 故可得，‎ 因的对称轴，‎ 故可得的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查用解析法求向量数量积的最值，涉及动点问题的处理，属综合中档题.‎ 三、解答题（52分）‎ ‎13.如图所示，在长方体中，， 为棱上—点.‎ ‎(1) 若，求异面直线和所成角的大小；‎ ‎(2) 若，求证平面.‎ ‎【答案】(1) ；(2)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由,得是异面直线和所成角,由此能示出异面直线和所成角的正切值；‎ ‎(2) 时,由勾股定理逆定理得,,由此能证明平面 ‎.‎ ‎【详解】(1),‎ 是异面直线和所成角,‎ ‎∵在长方体中,平面,‎ ‎,‎ ‎,,,M为棱上一点,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即异面直线和所成角的大小为.‎ ‎(2) 时,,‎ ‎,.‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,平面.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查直线与平面的证明,解题时要注意空间思维能力的培养.‎ ‎14.已知，的夹角为45°.‎ ‎（1）求方向上的投影；‎ ‎（2）求的值;‎ ‎（3）若向量夹角是锐角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由射影定义可得在方向上的投影；（2）利用公式可求得向量的模；（3）由与的夹角是锐角，可得，且与不能同向共线，即可解出实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）∵，，与的夹角为 ‎∴‎ ‎∴在方向上的投影为1‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎（3）∵与的夹角是锐角 ‎∴，且与不能同向共线 ‎∴，，‎ ‎∴或 ‎15.在中，角、、所对的边分别为、、.‎ ‎（1）若，，求面积的最大值；‎ ‎（2）若，试判断的形状.‎ ‎（3）结合解答第（2）问请你总结一下在解三角形中判断三角形的形状的方法.‎ ‎【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形. （3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用余弦定理列出关系式，将，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；‎ ‎（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得 ‎，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.‎ ‎（3）根据（2）中所求，结合解三角形的知识，即可容易总结.‎ ‎【详解】（1）因为，，‎ 所以由余弦定理得：，即，‎ 整理得，因为，所以，‎ 即，所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 则的最大值为.‎ ‎（2）由，所以，‎ 化简得，即，‎ 所以或，‎ 因为与都为三角形内角，‎ 所以或，‎ 所以是直角三角形或等腰三角形.‎ ‎（3）根据（2）中所求，结合已知知识，总结如下：‎ 一、可利用正余弦定理，求得三角形中的角度，即可判断三角形形状；‎ 二、可利用正余弦定理，求得三角形中的边长，由余弦定理判断三角形形状.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积的最值，以及判断三角形的形状，属综合中档题.‎ ‎16.如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）求三棱锥的体积；‎ ‎（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）;（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连结,由几何体的空间结构可证得,利用线面垂直的定义可知.‎ ‎(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,结合题意转化顶点可得. ‎ ‎(3)在上存在中点,使得.取的中点,连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD.‎ ‎【详解】(1)连结,∵为的中点,,‎ ‎∴为等腰直角三角形,‎ 则,同理可得,∴,∴, ‎ 又,且, ∴, ‎ 又∵,∴,又,∴.‎ ‎(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,‎ ‎∴,而是三棱锥的高,‎ ‎∴. ‎ ‎(3)在上存在中点,使得.理由如下:‎ 取的中点,连结. ‎ ‎∵是的中点, ∴,且, ‎ 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC//AD,且EC=AD,‎ 所以EC//GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG//CH,‎ 又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17.在△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量，且，‎ ‎（1）若=，求A；‎ ‎（2）若的外接圆半径为1，且试确定的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件，即可求得；‎ ‎（1）利用两角的关系，结合辅助角公式即可求得；‎ ‎（2）将目标式转化为的混合式，令，利用其与之间的关系，求得函数的值域，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为且，‎ 所以，由正弦定理，得，‎ 即.‎ 又，故，因为，‎ 所以即.‎ ‎(1)=‎ ‎ ‎ ‎，‎ 得，.‎ ‎(2)若则，由正弦定理，得 设=，则，‎ 所以 即，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及之间的关系以及换元法，属综合中档题.‎