【数学】2018届一轮复习人教A版不等式教案 10页

‎2018年高考数学（理）一轮复习讲义：不等式 一、考点突破 ‎ 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.会解线性规划问题，能正确画出可行域并利用数形结合求最优解。‎ 了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。‎ 二、重难点提示 不等式是中学数学的基础和重要内容，它和函数、导数、方程、数列、三角、解析几何等知识关系密切，相互渗透，相互为用.因而成为历年高考考查的重点内容.‎ 不等式的性质、解不等式、证不等式、用不等式四大板块中，不等式的性质是基础，证不等式是难点，解不等式、用不等式是重点，而含参数不等式的综合问题是命题的热点.复习时要弄清不等式各个性质的条件和结论，准确运用不等式的性质，用好等价转化的思想，掌握证明不等式的常用方法，提高用不等式解决问题的能力。‎ 一、知识脉络图 二、知识点拨 有关不等式成立的问题有以下常见类型：‎ ‎1. 恒成立问题 不等式在区间上恒成立，则等价于函数在区间上的最小值大于；‎ 不等式在区间上恒成立，则等价于函数在区间上的最大值小于。‎ ‎2. 能成立问题 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最大值大于；‎ 若在区间上存在实数使不等式成立，即在区间上能成立，则等价于函数在区间上的最小值小于。‎ ‎3. 恰成立问题 若不等式在区间上恰成立， 则等价于不等式的解集为；‎ 若不等式在区间上恰成立， 则等价于不等式的解集为。‎ 能力提升类 例1 若、b、c是正数，且=l，求 的最小值。‎ 一点通：利用基本不等式求极值是一类重要问题，要根据问题背景，结合基本不等式的形式特点确定解题方法，特别要考虑等号取得的条件是否满足。 ‎ 答案：‎ ‎.‎ ‎∴， 即 的最小值为.‎ 点评：利用基本不等式，采用构造法解决有关极值问题时要注意：形式上要符合用基本不等式的条件，等号要能够取得。 ‎ 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池， 其容积为4800，深为3，如果池底每1的造价为150元，池壁每1的造价为120元，问怎样设计水池造价最低，最低造价是多少？‎ 一点通：利用基本不等式的应用问题，注意在理解题意的基础上，选择适当的变量把要求的量表示出来。‎ 答案：设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为。又设水池总造价为元。根据题意，得 ‎ ‎ ‎ 当且仅当 ，即时，有最小值297600元。‎ ‎ 答：当水池的底面是边长为40的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元。‎ 点评：本题除结合基本不等式外，还可以考虑结合函数的图象和性质来解答。 ‎ 综合运用类 例3 解不等式：。‎ 一点通：用“零值基点法”进行讨论， 即可求解。‎ 答案：原不等式即为 ，‎ 令，解得；令，解得。‎ 当时，原不等式变为 ，解得；‎ 当时，原不等式变为 ，解得；‎ 当时，原不等式变为 ，解得。‎ ‎∴综上，不等式的解集为 。‎ 点评：注意，对每一种情况进行讨论时， 过程中要求交集；运算结果要写成并集。‎ 例4 已知 ，求证：。‎ 一点通：利用等价性双向可逆的证明方法进行变形，一定要注意是否具备等价性。‎ 证明：‎ ‎ 。‎ ‎ ∴。‎ 点评：本题是从条件推出的结论，是寻找待证结论的必要条件，而不是充要条件。‎ 例5 设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ). ‎ A. B. C. D. 4‎ 一点通：本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知‎2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答。‎ 答案：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by= z（a>0，b>0）‎ 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，‎ 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即‎4a+6b=12，即‎2a+3b=6，‎ 而=，故选A。‎ 点评：本题一道综合性问题，考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题。 ‎ 思维拓展类 例6 设函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间、极值；‎ ‎（Ⅱ）若时，恒有，求的取值范围。 ‎ 一点通：要充分理解不等式与极值的联系与区别。的最小值为A；但是由得不到的最小值为A，这时要考虑等号是否能够取得的问题。‎ 答案：(Ⅰ) ‎ ‎ （）‎ 令，解得 ；，解得 ；‎ ‎∴的单调递增区间是；‎ 的单调递减区间是和；‎ 且；；‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎∵，‎ ‎∴ 在上是 减函数，；‎ ‎；‎ ‎∴‎ ‎∴的取值范围是。 ‎ 点评：要充分利用讨论函数的方法，特别是导数的方法来解决不等式问题。 ‎ 例7 已知函数，设关于的方程的两个非零实根为、。试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 一点通：在变量和参数比较多的时候，一定要分清在变化过程中，哪一个是主要变量，哪一个是参数，制定切实可行的解题方案。‎ 答案：由，得，∵，‎ ‎∴、是方程的两实根，∴ ，‎ 从而，‎ ‎∵，∴。‎ 要使不等式对任意及恒成立，‎ 当且仅当对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立。 ②‎ 设， ‎ ‎②或。 ‎ 所以，存在实数m，使不等式对任意及恒成立，其取值范围是。‎ 点评：在不等式问题中，一定要分清是“恒成立问题”还是 “能成立问题”。不等式恒成立，等价于函数的最小值大于；若存在x使不等式成立，则等价于函数的最大值大于。‎ 利用基本不等式求最值：‎ 当是正数时，不等式成立；‎ 当且仅当时，不等式中，“等号”成立；‎ ‎ 若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最小值；‎ 若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值 。‎ 注：通常解题步骤记为：“一正、二定、三相等”。‎ ‎“一正”是指、均为“正数”，不等式成立；‎ ‎“二定”是指：若积为“定值”，则和()有最小值；若和()为“定值”，则积有最大值；‎ ‎“三相等”是指当且仅当时，不等式中“=”成立，才会有最值（定值）；若不成立，即无解，则表示不等式虽然成立，但无最值。‎ 解含参数的不等式问题的基本方法是：定义域为前提，函数单调性为基础，分类讨论是关键，整合结果做答案。特别是解二次项系数含参数的一元二次不等式时，不要忘记对二次项系数的讨论。如含有参数的不等式的解为全体实数，求的取值范围，不要忘记的情形。要会用不等式 证明和解决一些简单问题。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 若，则 A. B. C. D. ‎ ‎2. 若则下列不等式中不正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 下列命题中正确的是 ‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎4. 设，，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎6. 若，且，则下列不等式中成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 以下四个命题中，正确命题有 ‎ ‎①；② ；③ ；④。‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎8. 若， 且，则下列判断正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎9. 若，则 A. B. C. D. 不能确定 ‎10. 若、为实数，则成立的一个充要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎11. 设偶函数在上为增函数，则 A. B. ‎ C. D. 和的大小与值有关 ‎12. 已知三个不等式：①，②，③（其中 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下一个不等式作为结论组成命题，可以组成正确命题的个数为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：‎ ‎13. 如果条件：“”是条件：“”的充分不必要条件，那么实数的取值范围是 。 ‎ ‎14. 已知个商品和个商品的价格之和大于元，而个商品和个商品的价格之和小于元，则个商品的价格为， 个商品的价格为，则和的大小关系为 。‎ ‎15. 设 则的大小顺序是 。‎ ‎16. 已知函数的图象经过点和，若，则的取值范围是 。‎ 三、解答题：‎ ‎17. 求不等式组所表示的平面区域的面积为。‎ ‎18. 已知函数 ， 当 时， ， ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：当 时， ；‎ ‎（Ⅲ）设，当 时，的最大值为2，求。‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C C C C C A D B D C D 二、填空题 ‎13. ；14. M＞n；15. z＞y＞x； 16. (1，2). ‎ 三、解答题：‎ ‎17. ‎ 解：不等式可化为或；‎ 不等式可化为或. ‎ 在平面直角坐标系内作出四条射线：‎ ‎，，‎ 则不等式组所表示的平面区域如图，由于与、与互相垂直，所以平面区域是一个矩形.‎ 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和。所以其面积为。‎ ‎18. Ⅰ）证明：当 时， ， 。‎ ‎（Ⅱ）证明∵在上是单调函数，‎ ‎∴当 时，在，或处取最大值，‎ ‎∵，‎ 又。‎ ‎ ∴。‎ ‎（Ⅲ）解：，在上是增函数，‎ ‎，‎ ‎， 即当时，取最小值，‎ 即，∴，又∴。‎