【数学】2020届一轮复习人教B版　参数方程的概念学案 8页

‎1．参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．‎ 联系变量x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．普通方程 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ ‎[问题思考]‎ ‎1．参数方程中的参数t是否一定有实际意义？‎ 提示：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．‎ ‎2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？‎ 提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如(t∈R)和(m∈R) 都表示直线x＝2y＋1.‎ ‎ 考点1‎ 判断点与曲线的位置关系 ‎　　　已知曲线C的参数方程是(t为参数)．‎ ‎(1)判断点M1(0，－1)和M2(4,10)与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)已知点M(2，a)在曲线C上，求a的值．‎ ‎[精讲详析]　本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．‎ ‎(1)把点M1的坐标代入参数方程 得 ‎∴t＝0.即点M1在曲线C上．‎ 把点M2的坐标代入参数方程 得方程组无解．即点M2不在曲线C上．‎ ‎(2)∵点M(2，a)在曲线C上，∴ ‎∴t＝1，a＝3×12－1＝2.即a的值为2.‎ 已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．‎ ‎1．已知曲线C的参数方程是(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A(1,3)，B是否在曲线C上．‎ 解： 将A(1,3)的坐标代入 得即 由0≤θ<2π，得θ＝π.‎ 将B的坐标代入 得即这样的角θ不存在．‎ 所以点A在曲线C上，点B不在曲线C上．‎ ‎ 考点2‎ 求曲线的参数方程 ‎　‎ ‎　　　‎ 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．‎ ‎[精讲详析]　本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x和y.‎ 法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.‎ 如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.‎ 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．‎ ‎∵|OA|＝，‎ ‎∴|BQ|＝.‎ ‎∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为 (0＜t＜a)．‎ 法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．‎ 取∠QBP＝θ，θ为参数0＜θ＜，则∠ABO＝－θ.‎ 在Rt△OAB中，|OB|＝acos＝asin θ.‎ 在Rt△QBP中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.‎ ‎∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为 .‎ ‎(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．‎ 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．‎ 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．‎ ‎(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．‎ ‎2.‎ 如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA交OA于D，PB∥OA，试求点P的轨迹的参数方程．‎ 解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由PQ⊥OA，PB∥OA，得x＝OD＝OQcos θ＝OA·cos 2θ＝2acos 2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.‎ 所以P点轨迹的参数方程为θ∈.‎ ‎6‎ ‎[本节热点命题关注]‎ 曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．‎ ‎[考题印证]‎ 已知弹道曲线的参数方程为(t为参数)‎ ‎(1)求炮弹从发射到落地所需时间；‎ ‎(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．‎ ‎[命题立意]　本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用．‎ ‎[解]　(1)令y＝0，则2tsin －gt2＝0，‎ 解之得t＝.‎ ‎∴炮弹从发射到落地所需要的时间为.‎ ‎(2)y＝2tsin －gt2＝－gt2＋t ‎＝－g(t2－t)‎ ‎＝－g2－ ‎＝－g2＋，‎ ‎∴当t＝时，y取最大值.‎ 即炮弹在运动中达到的最大高度为.‎ 一、选择题 ‎1．曲线与x轴交点的直角坐标是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．(0,1) B．(1,2) ‎ C．(2,0) D．(±2,0)‎ 解析： 选C　设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0，得t＝1, 代入x＝1＋t2，得x＝2，‎ ‎∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．‎ ‎2．参数方程(t为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．两条直线 B．一条射线 C．两条射线 D．双曲线 解析： 选C　当t>0时，是一条射线；当t<0时，也是一条射线，故选C.‎ ‎3．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是(　　)‎ A．|t1| B．2|t1|‎ C.|t1| D.|t1|‎ 解析：选C　∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，∴|P1P|＝＝＝|t1|.‎ ‎4．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝(　　)‎ A．－3－5 B．－3＋5 C．－3＋ D．－3－ 解析：选A　∵(14，a)在曲线C上，‎ 由①得：cos θ＝，又π≤θ＜2π.‎ ‎∴sin θ＝－ ＝－，∴tan θ＝－.‎ ‎∴a＝5·(－)－3＝－3－5.‎ 二、填空题 ‎5．若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.‎ 解析： 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程(θ为参数)，得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 答案： ＋2kπ，k∈Z ‎6．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，则常数a＝________.‎ 解析：∵点M(5,4)在曲线C上，∴解得：∴a的值为1.‎ 答案：1‎ ‎7．曲线(x－1)2＋y2＝4上点的坐标可以表示为________(填序号)．‎ ‎①(－1＋cos θ，sin θ)，②(1＋sin θ，cos θ)，‎ ‎③(－1＋2cos θ，2sin θ)，④(1＋2cos θ，2sin θ)．‎ 解析：分别将①、②、③、④代入曲线(x－1)2＋y2＝4验证可知，只有④使方程成立．‎ 答案：④‎ ‎8．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________．‎ 解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为：x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.∴参数方程为： 答案：(t为参数)‎ 三、解答题 ‎9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s，运动开始时质点位于A(2,0)，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．‎ 解：‎ 如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知： 又θ＝·t，‎ 故参数方程为：(t为参数)．‎ ‎10．在长为a的线段AB上有一个动点E，在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等腰直角三角形AEC和EBD，点P是CD的定比分点，且CP∶PD＝2∶1，求点P的轨迹．‎ 解： 建立如图所示坐标系(设C，D在x轴上方)．‎ 设E(t,0)(t为参数，t∈[0，a])，B(a,0)，则点C的坐标为，点D的坐标为.‎ ‎∵CP∶PD＝2∶1，‎ 即λ＝2.由定比分点公式，有 t∈[0，a]，这就是点P运动轨迹的参数方程. ‎ ‎11．舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．‎ 解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2)．设海中动物为P(x，y)．‎ 因为|BP|＝|CP|，‎ 所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．‎ 又|PB|－|PA|＝4，‎ 所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1.从而得P(8,5)．‎ 设∠xAP＝α，则tan α＝kAP＝，‎ ‎∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′(如图)．‎ ‎|PA|＝10，设弹道曲线方程是 (其中θ为仰角)，‎ 将P(10,0)代入，消去t便得sin 2θ＝，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.‎