浙江省宁波市镇海中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 23页

www.ks5u.com ‎2019学年镇海中学高一上期中 一、选择题 ‎1.设全集，集合，，则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.‎ ‎【详解】解一元二次不等式化简集合A,得,‎ 由 得,‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点和实心点的问题,属基础题.‎ ‎2.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。‎ ‎3.下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在选项中，前者的属于非负数，后者的，两个函数的值域不同；在选项中，前者的定义域为，后者为或，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同；在选项中，定义域是的定义域为，定义域不相同，值域、对应法则都相同，所以是同一函数，故选D.‎ ‎4.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。‎ ‎5.关于函数的说法，正确的是()‎ A. 最小值为1 B. 的图象不具备对称性 C. 在上单调递增 D. 对，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为,根据可知函数的最大值为1,所以A不正确;D正确;‎ 根据,可知函数图象关于直线对称,所以B不正确;‎ 因为函数 在上是单调递增,且恒成立,‎ 所以函数 在上单调递减,所以C不正确.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以函数,‎ 所以函数的最大值为1 因此选项A不正确;‎ 因为,所以函数的图象关于直线对称,所以选项B.不正确; ‎ 因为函数 在上是单调递增,且恒成立,所以函数 在上单调递减,所以C不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值,对称性,单调性和奇偶性,.函数性质的常用结论有:①若,则函数在区间上的单调性与函数在 上的单调性相反;②若函数恒成立,则函数的对称轴为对称. 本题属于中档题.‎ ‎6.若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复合函数同增异减法得出函数的单调递增区间为，‎ 于此得出，然后列不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由，即，解得.‎ 二次函数的对称轴为.‎ 由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为．‎ 要使函数在区间内单调递增，‎ 则，即，解得，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数单调性与参数，解本题的关键在于将区间转化为函数单调区间的子集，利用集合的包含关系求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.设a为实数，若函数有零点，则函数零点的个数是（ ）‎ A. 1或3 B. 2或3 C. 2或4 D. 3或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，得到，函数有零点，则方程有根，考虑方程有一个根、两个根两种情况，分析对应的零点个数.‎ 详解】令，所以，‎ 因为有零点，所以方程有根，‎ 当仅有一根时，，所以，‎ 此时，若，则有是方程的解，‎ 即，此时有解，即有个零点；‎ 当有两个不等实根时，，所以，‎ 记两根为，所以，所以，此时是方程的解，‎ 即，此时有解，‎ 又因为，，，‎ 所以，所以是方程的解，‎ 即，此时有解，‎ 所以当有两个不等实根时，共有解，即有个零点. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，难度一般.函数的零点个数也是方程根的数目.讨论 “嵌套”的函数的零点个数，可采用换元法令，考虑的零点与的关系，分析出对应方程根的数目，即为函数零点的个数.‎ ‎8.已知函数，，则以下结论正确的是（ ）‎ A. 任意的，且，都有 B. 任意的，且，都有 C. 有最小值，无最大值 D. 有最小值，无最大值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A：根据函数解析式直接判断的单调性，可判断对错；‎ B：利用奇偶性判断的单调性，即可判断对错；‎ C：利用奇偶性和单调性判断最值情况；‎ D：利用奇偶性和单调性判断最值情况.‎ ‎【详解】A：在上均是增函数，所以是上增函数，故错误；‎ B：因为，所以是偶函数，所以在上不可能是减函数，故错误；‎ C：因为，所以是奇函数，又在上是增函数，所以无最值，故错误；‎ D：任意的，且，所以，‎ 因为，，所以，所以，所以在上单调递增，‎ 因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，无最大值，故正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等.‎ ‎9.函数(其中)的图象不可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于，当时，，且，故可能；对于，当且时，，当且时，在为减函数，故可能；对于,当且时，，当且时，在上为增函数，故可能，且不可能.‎ 故选C.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎10.已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，根据图象求解出的取值范围，然后将用含的式子表示出来，根据的取值范围，即可求解出的取值范围.‎ ‎【详解】作出函数图象如下图：‎ 根据图象可知：，‎ 因为，所以，‎ 又由图象可知：，所以，所以，‎ 又因为，所以的两解为，所以，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程综合应用，着重考查了数形结合思想的运用，难度较难.（1）函数的的零点方程的根与图象交点的横坐标；（2）利用数形结合思想的应用：判断函数的零点个数或者方程根的数目、求解参数范围或解不等式、研究函数的性质等.‎ 二、填空题 ‎11.已知集合，则列举法表示集合________，集合A的真子集有________个．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及，求解出可能值，然后用列举法表示出集合即可；根据集合中的元素个数，利用真子集个数的计算公式求解真子集个数即可.‎ ‎【详解】因为且，所以或或或，‎ 所以列举法表示集合：，‎ 所以集合A的真子集个数为：个，‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】（1）用列举法表示集合时，将集合中的所有元素放在中即可；‎ ‎（2）集合中含有个元素，则集合的子集个数为：；真子集、非空子集个数为；非空真子集个数为：.‎ ‎12.函数的定义域是________，值域是________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根号下被开方数大于等于零求解出定义域，再利用二次函数并注意求解出的范围，即可求解出值域.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以，所以定义域为：，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，即值域为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域和值域的求解，难度较易.常见的函数的定义域求解：（1）分式的分母不为零；（2）根号下的被开方数大于零；（3）函数中的.‎ ‎13.已知函数，则_______；若，则实数_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). -2或4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据满足,利用分段函数的第一段解析式,可求得,‎ 再根据2满足,利用分段函数的第二段解析式,可求得,即;‎ 对分两种情况求得,再将代入可以解得即可.‎ ‎【详解】因为,所以.‎ 当时,,解得,或 (舍去);‎ 当时,,解得.‎ 综上 或.‎ 故答案为:; 或.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论,本题属于中档题.‎ ‎14.已知集合，设为从集合到集合的函数，则这样的函数一共有________个，其中函数的值域一共有________种不同情况．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析函数个数时，利用定义域中的任意一个元素都可以对应集合的任何一个元素，由此计算出函数的个数；分析函数的值域时，考虑对应关系为一对一、多对一的情况，由此得到值域的种数.‎ ‎【详解】因为定义域中有三个元素：，其中每个元素都可以对应到集合中的三个元素中的任意一个， ‎ 所以对应关系共有：种，所以函数的个数为：；‎ 将对应关系分为：一对一，多对一（二对一、三对一）‎ 若为一对一，值域有：，共种情况，‎ 若为二对一，值域有：，共种情况，‎ 若为三对一，值域有：，共种情况，‎ 所以值域有种.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的对应关系计算函数和值域的种数，难度一般.根据“为从集合到集合的函数”去计算函数或者值域的种数时，注意：函数的定义域为集合，但是值域是集合的子集.‎ ‎15.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为，是开口向下的二次函数，故只能是在上单减，故要求整个函数在R上都是减的，每一段都是减的，则要求，‎ 故答案为：。‎ 点睛：这个题目考查了，已知分段函数的单调性求参的问题，一般这类题目要满足两个条件，一是分段函数每一段都是单调的，且要求在定义域上函数是上台阶或下台阶的，即每段的连接点处必须是连接起来的或者都是向下或向上的趋势，不能错位。‎ ‎16.若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以，所以或，‎ 当时，对且不成立，‎ 当时，取，显然不满足，所以，‎ 所以，解得；‎ 当时，取，显然不满足，所以，‎ 所以，解得，‎ 综上可得的取值范围是：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.‎ ‎17.已知集合，，若，则t的取值范围________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将集合中的表示元素的范围求解出来，根据中仅有两个元素，对的根分类讨论，从而求解出的范围.‎ ‎【详解】因为，所以或且，‎ 又因为，所以且，，‎ 当时，，‎ 因为，所以，所以，‎ 解得：；‎ 当时，，‎ 因为，所以，所以，‎ 此时无解；‎ 当时，，‎ 因为，所以，所以，‎ 解得：；‎ 当时，，，不符题意.‎ 综上可知：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查根据集合的运算结果求解参数范围，难度较难.当一个不含参数的一元二次不等式的解集与一个含参数的一元二次不等式的解集的交集中包含有限个整数时，可通过对含参数的一元二次不等式的解集的一个端点分类讨论，并由此得到对应的另一个端点满足的不等式，由此可求解出参数的范围.‎ 三、解答题 ‎18.计算求值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分数指数幂的运算法则进行化简计算即可；‎ ‎（2）利用对数的运算法则，以及对数等式去计算，注意化简.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的计算，着重考查了分数指数幂的运算以及对数运算法则的应用，难度一般.‎ ‎19.已知集合，，其中．‎ ‎（1）若，，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，列出不等式组，求解出的范围即可；‎ ‎（2）求解出集合表示元素对应的一元二次方程的根，对采用分类讨论，根据列出不等式，求解出的范围.‎ ‎【详解】（1）因为，，所以或，‎ 解得：，所以的取值范围是：；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 当时，，所以或，‎ 当时，，，‎ 因为，所以，解得：，所以；‎ 当时，，所以，，此时不满足；‎ 当时，，，‎ 因为，所以，解得：；‎ 综上可知：的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查根据元素与集合、集合与集合之间的关系求解参数范围，难度一般.利用集合的子集关系求解参数范围时，如：，要注意到集合是否有空集的可能，因此一般情况需要进行分类讨论：，.‎ ‎20.定义在上的函数满足，且当时，．‎ ‎（1）求当时，的解析式；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用时的解析式以及与的关系：当时，通过的范围求解，从而得到；‎ ‎（2）由的单调性和奇偶性列出和的不等式，然后根据一次函数在指定区间上恒小于零列出对应不等式，求解出的范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以，‎ 当时，，所以，‎ 所以当时，；‎ ‎（2）当时，，‎ 因为在上单调递减，在上单调递减，‎ 又因为时，与函数值相同，所以在上单调递减，‎ 因为对任意成立，所以是偶函数，所以在上单调递增，‎ 因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，‎ 所以即对任意的恒成立，‎ 令，所以在时恒有，‎ 所以，解得：，即.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，难度一般.‎ ‎（1）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；‎ ‎（2）已知函数是偶函数，在已知函数单调性的情况下可将关于函数值的不等式转化为含绝对值的关于自变量的不等式.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当，时，求满足的的值；‎ ‎（2）若函数是定义在上的奇函数，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入数值，构造出方程，然后求解出的值，注意的范围；‎ ‎（2）根据是定义在上的奇函数先求解出解析式，即可得到的解析式，然后再利用换元法求解出的最大值.‎ ‎【详解】（1）因为，时，，‎ 又因为，所以，所以，‎ 所以，即；‎ ‎（2）因为是定义在上的奇函数，所以，‎ 所以，化简可得：对任意成立，‎ 所以，所以或，‎ 又因为的定义域为，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 因为对任意恒成立，‎ 所以对任意恒成立，‎ 令，所以，‎ 又因为，‎ 由对勾函数的单调性可知，时有最小值，所以，‎ 所以，所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的综合应用，难度一般.‎ ‎（1）已知函数为奇函数，求解函数解析式中的参数值时，不能直接得到，因为定义域中可能不包含，一般做法是：由 构建关于关于参数的方程，由此求解出参数；‎ ‎（2）对勾函数，当时，在处取最小值，当时，在处取最大值.‎ ‎22.已知函数，，．‎ ‎（1）若且，求函数的最小值；‎ ‎（2）若对于任意恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（3）若，求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将函数化简，然后利用基本不等式求解出的最小值；‎ ‎（2）先根据进行简单化简，然后将绝对值不等式平方，根据一次函数在给定区间上恒大于零列出不等式组，求解出的范围；‎ ‎（3）因为是增函数，因此只需要考虑与的大小关系即可，对采用分类讨论的方法，即可求解出.‎ ‎【详解】（1）因为且时，，‎ 所以，取等号时，‎ 所以的最小值为；‎ ‎（2）因为对任意恒成立，所以对任意恒成立，‎ 所以即对任意恒成立，‎ 所以，解得：，‎ 所以；‎ ‎（3），‎ 图象分别是以和为顶点的开口向上的型线，且两条射线的斜率为，‎ 当时，即，所以，此时令，所以，‎ 若，，此时恒成立，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 若，，令，即，所以，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 当时，即，所以，此时令，所以，‎ 若时，，令，即，所以，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 若时，，此时恒成立，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 当时，则，所以，所以恒成立，‎ 令，即，所以，当时，，‎ 若时，则，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 若时，则，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 若，则，‎ 所以，此时为图中红色部分图象，对应如下图：‎ 综上所述：的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的综合应用，难度较难.‎ ‎（1）求解含绝对值的不等式中的参数范围时，可采取将不等式的两边同时平方的方法去掉绝对值符号，再以函数与的关系得到关于参数的不等式组，求解出参数范围；‎ ‎（2）形如的形式（取较大值函数），其含义是：相同的条件下，取较大的值或.处理这类问题时，可通过对参数范围分类讨论，从而得到对应的最值.‎ ‎ ‎