2019届二轮复习第十二章概率随机变量及其分布模拟试卷一课件（51张）（全国通用） 51页

模拟试卷 ( 一 ) 一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1. 设集合 A ＝ { x | － 1< x <2} ， B ＝ { x |2 x ≥ 1} ，则 A ∩ B 等于 A. [0,2) B . [0,1) C . ( － 1,0] D .( － 1,0) √ 解析　 由题意得 B ＝ { x |2 x ≥ 1} ＝ { x | x ≥ 0} ，又 A ＝ { x | － 1< x <2} ， ∴ A ∩ B ＝ { x |0 ≤ x <2} ＝ [0,2). 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 故选 B. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在 ( － ∞ ， 0) 上单调递增的 是 A. f ( x ) ＝ 2 x － 2 － x B. f ( x ) ＝ x 2 － 1 C. f ( x ) ＝ x cos x D. f ( x ) ＝－ ln| x | √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 A 中， f ( － x ) ＝ 2 － x － 2 x ＝－ f ( x ) ，不是偶函数， A 错； B 中， f ( － x ) ＝ ( － x ) 2 － 1 ＝ x 2 － 1 ＝ f ( x ) ，是偶函数，但在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减， B 错； C 中， f ( － x ) ＝－ x cos( － x ) ＝－ x cos x ＝－ f ( x ) ，不是偶函数， C 错； D 中， f ( － x ) ＝－ ln| － x | ＝－ ln| x | ＝ f ( x ) ，是偶函数，且函数在 ( － ∞ ， 0) 上单调递增，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 4. 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n ＝ k ·2 n － 3 ，则 a k 等于 A.4 B.8 C.12 D.16 解析　 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ k ·2 n － 1 ； 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 k － 3 ＝ k ·2 1 － 1 ，解得 k ＝ 3, ∴ a k ＝ a 3 ＝ 3·2 3 － 1 ＝ 12. 故选 C. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 结合各选项可得 C 符合题意 . 故选 C . 7. 函数 f ( x ) ＝ 有 两个不同的零点，则实数 a 的取值范围 是 A. a ≤ 2 B. a <2 C. a ≥ 2 D. a >2 故选 C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8.(2019· 安徽省江淮名校试题 )Rt △ ABC 的斜边 AB 等于 4 ，点 P 在以 C 为圆心， 1 为半径的圆上， 则 的 取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 . ( 1 ＋ x ) 5 的展开式中 x 2 的系数 为 A.1 B. － 9 C.31 D . － 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10. 如图， B 是 AC 上一点，分别以 AB ， BC ， AC 为直径作半圆 . 过 B 作 BD ⊥ AC ，与半圆相 交于 D . AC ＝ 6 ， BD ＝ ， 在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 连接 AD ， CD ， 可知 △ ACD 是直角三角形，又 BD ⊥ AC ，所以 BD 2 ＝ AB · BC ，设 AB ＝ x (0< x <6) ，则有 8 ＝ x (6 － x ) ， 得 x ＝ 2 或 x ＝ 4 ，当 x ＝ 2 时， AB ＝ 2 ， BC ＝ 4 ， 由此可得图中阴影部分的面积 等于 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 由题意，矩形的对角线长相等， ∴ 4 a 2 b 2 ＝ ( b 2 － 3 a 2 ) c 2 ， ∴ 4 a 2 ( c 2 － a 2 ) ＝ ( c 2 － 4 a 2 ) c 2 ， ∴ e 4 － 8 e 2 ＋ 4 ＝ 0 ， 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 √ 12. 设正三棱锥 P － ABC 的每个顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上，则三棱锥 P － ABC 体积的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 故选 C . 二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13. 已知向量 a ， b 的夹角为 45° ，且 | a | ＝ | b | ＝ 2 ，则 a ·( a － b ) ＝ ___. 0 14. 若函数 f ( x ) ＝ ( a ＋ 1) x 3 ＋ ax 2 － 2 x 为奇函数，则曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 ____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 解析　 f ( x ) ＝ ( a ＋ 1) x 3 ＋ ax 2 － 2 x 为奇函数，则 a ＝ 0 ， ∴ f ( x ) ＝ x 3 － 2 x ， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ， ∴ f ′ (1) ＝ 3 × 1 2 － 2 ＝ 1 ，又 f (1) ＝－ 1 ， 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1 )) 处 的切线方程为 y ＋ 1 ＝ x － 1 ，即 x － y － 2 ＝ 0. 21 22 x － y － 2 ＝ 0 15.(2019· 安徽省江淮名校联考 ) 已知正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1 ， 则 的 最大值为 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析　 令 x ＝ a ＋ 1 ， y ＝ b ＋ 2 ，则 x ＋ y ＝ 4 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16. 设 m ∈ R ，若函数 f ( x ) ＝ | x 3 － 3 x － m | 在 x ∈ [0 ， ] 上的最大值与最小值之差为 2 ，则实数 m 的取值范围是 ______________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ( － ∞ ，－ 2] ∪ [0 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 则 g ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ＝ 3( x － 1)( x ＋ 1) ， ∴ － 2 － m ≥ 0 或－ m ≤ 0 ， 解得 m ≤ － 2 或 m ≥ 0. ∴ 实数 m 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 2] ∪ [0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题 ( 本大题共 70 分 ) 17.(10 分 ) 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和， S 9 ＝ 81 ， a 2 ＋ a 3 ＝ 8. (1) 求 { a n } 的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 故 a n ＝ 1 ＋ ( n － 1) × 2 ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). (2) 若 S 3 ， a 14 ， S m 成等比数列，求 S 2 m . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 即 9 m 2 ＝ 27 2 ，解得 m ＝ 9 ，故 S 2 m ＝ 18 2 ＝ 324. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 在 △ ABC 中，根据正弦定理， 又 ∠ ADC ＝ ∠ B ＋ ∠ BAD ＝ ∠ B ＋ 60°>60° ， 所以 ∠ ADC ＝ 120°. 于是 ∠ C ＝ 180° － 120° － 30° ＝ 30° ，所以 ∠ B ＝ 60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2) 若 BD ＝ 2 DC ，且 AD ＝ ， 求 DC 的长 . 在 △ ABD 中，由余弦定理，得 AD 2 ＝ AB 2 ＋ BD 2 － 2 AB · BD cos B ， 故 DC ＝ 2. 19.(12 分 ) 如图，四边形 ABCD 为正方形， BE ∥ DF ，且 AB ＝ BE ＝ DF ＝ EC ， AB ⊥ 平面 BCE . ( 1) 证明：平面 AEC ⊥ 平面 BDFE ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明　 ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AC ⊥ BD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又 ∵ AB ⊥ 平面 BCE ， ∴ AB ⊥ BE . ∵ AB ∩ BC ＝ C ， ∴ BE ⊥ 平面 ABCD ， ∴ BE ⊥ AC . 又 BE ∩ BD ＝ B ， ∴ AC ⊥ 平面 BDFE ， ∵ AC ⊂ 平面 AEC ， ∴ 平面 AEC ⊥ 平面 BDEF . (2) 求二面角 A － FC － D 的余弦值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解　 ∵ BE ⊥ 平面 ABCD ， BE ∥ DF ， ∴ DF ⊥ 平面 ABCD . 以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 D － xyz ，令 AB ＝ 1 ， 则 A (1,0,0) ， C (0,1,0) ， E (1,1,1) ， F (0,0,1) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设平面 AFC 的法向量为 n 1 ＝ ( x 1 ， y 1 ， z 1 ) ， 令 x 1 ＝ 1 ，则 n 1 ＝ (1,1,1). 易知平面 FCD 的一个法向量 n 2 ＝ (1,0,0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二面角 A － FC － D 为锐角， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20.(12 分 ) 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1 200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的方法抽取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查 . 现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类： A 类 ( 不参加课外阅读 ) ， B 类 ( 参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时 ) ， C 类 ( 参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时 ). 调查结果如下表 ： (1) 求出表中 x ， y 的值 ； 21 22   A 类 B 类 C 类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 设 抽取的 20 人中，男、女生人数分别为 n 1 ， n 2 ， 21 22 所以 x ＝ 12 － 5 － 3 ＝ 4 ， y ＝ 8 － 3 － 3 ＝ 2. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2) 根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有 90% 的把握认为 “ 参加阅读与否 ” 与性别有关； 21 22   男生 女生 总计 不参加课外阅读       参加课外阅读       总计       20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 列联表 如下： 21 22   男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 所以没有 90% 的把握认为 “ 参加阅读与否 ” 与性别有关 . 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3) 从抽出的女生中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名女生中 A 类人数和 C 类人数差的绝对值，求 X 的均值 . 21 22 P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.10 0.05 0.01 k 0 2.706 3.841 6.635 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解　 X 的可能取值为 0,1,2,3 ， 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21.(12 分 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝ x ＋ 4 与抛物线 C ： x 2 ＝ 2 py ( p >0) 交于 A ， B 两点，且 OA ⊥ OB . (1) 求 C 的方程； 21 22 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 得 x 2 － 2 px － 8 p ＝ 0 ， Δ ＝ 4 p 2 ＋ 32 p >0 ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 p ， x 1 x 2 ＝－ 8 p ， 从而 y 1 y 2 ＝ ( x 1 ＋ 4)( x 2 ＋ 4) ＝ x 1 x 2 ＋ 4( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 16. ＝ 2 x 1 x 2 ＋ 4( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 16 ＝ 0 ， 即－ 16 p ＋ 8 p ＋ 16 ＝ 0 ，解得 p ＝ 2 ，故 C 的方程为 x 2 ＝ 4 y . (2) 试问：在 x 轴的正半轴上是否存在一点 D ，使得 △ ABD 的外心在 C 上？若存在，求出 D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 解　 设线段 AB 的中点为 N ( x 0 ， y 0 ) ， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 则线段 AB 的中垂线方程为 y － 6 ＝－ ( x － 2) ， 即 y ＝－ x ＋ 8. 从而 △ ABD 的外心 P 的坐标为 (4,4) 或 ( － 8,16). 假设存在点 D ( m ,0)( m >0) ，设 P 的坐标为 (4,4) ， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 若 P 的坐标为 ( － 8,16) ， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 则 P 的坐标不可能为 ( － 8,16). 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 22. (12 分 )(2019· 安徽省江淮名校联考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ e x ＋ ax 2 在 x ＝ 1 处的切线方程为 y ＝ bx ＋ 1. (1) 求 a ， b 的值； 21 22 解　 f ′ ( x ) ＝ e x ＋ 2 ax ， 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2) 证明 ：当 x >0 时 e x ＋ 2 x ≥ x 2 ＋ e x ＋ 1. 21 22