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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版4-2同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

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‎§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.‎ ‎2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度.‎ ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).‎ ‎2.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ ‎-α ‎(2k+1)π+α(k∈Z)‎ +α -α 正弦 sin α ‎-sin α ‎-sin α cos α cos α 余弦 cos α cos α ‎-cos α ‎-sin α sin α 正切 tan α ‎-tan α tan α ‎-cot α cot α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 概念方法微思考 ‎1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?‎ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.‎ ‎2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?‎ 提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )‎ ‎(2)若α∈R,则tan α=恒成立.( × )‎ ‎(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( × )‎ ‎(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.若sin α=,<α<π,则tan α= .‎ 答案 - 解析 ∵<α<π,‎ ‎∴cos α=-=-,‎ ‎∴tan α==-.‎ ‎3.已知tan α=2,则的值为 .‎ 答案 3‎ 解析 原式===3.‎ ‎4.化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为 .‎ 答案 -sin2α 解析 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.‎ 题组三 易错自纠 ‎5.已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值为 .‎ 答案  解析 ∵<α<,∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,‎ ‎∴cos α-sin α>0.‎ 又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,‎ ‎∴cos α-sin α=.‎ ‎6.(2018·鄂尔多斯诊断)已知α为锐角,cos=,则cos(π+α)= .‎ 答案 - 解析 ∵cos=sin α=,且α为锐角,‎ ‎∴cos α=,∴cos(π+α)=-cos α=-.‎ ‎7.已知cos α=,-<α<0,则的值为 .‎ 答案  解析 ∵-<α<0,‎ ‎∴sin α=- =-,‎ ‎∴tan α=-2.‎ 则= ‎=-==.‎ 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 ‎1.已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 C 解析 因为α是第四象限角,sin α=-,‎ 所以cos α==,‎ 故tan α==-.‎ ‎2.若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于(  )‎ A. B. C.1 D. 答案 A 解析 tan α=,则cos2α+2sin 2α===.‎ ‎3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为(  )‎ A.3 B.-3 C.1 D.-1‎ 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限,‎ 得sin α<0,cos α<0,‎ 故原式=+=+=-1-2=-3.‎ ‎4.已知cos x+sin x=,x∈(0,π),则tan x等于(  )‎ A.- B.- C.2 D.-2‎ 答案 A 解析 由cos x+sin x=,sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-.‎ 思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tan α可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ 题型二 诱导公式的应用 例1 (1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}‎ C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}‎ 答案 C 解析 当k为偶数时,A=+=2;‎ 当k为奇数时,A=-=-2.‎ ‎(2)化简:‎ = .‎ 答案 -1‎ 解析 原式= ‎==-1.‎ 思维升华 (1)诱导公式的两个应用 ‎①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.‎ 跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P(-4,3),则 的值为 .‎ 答案 - 解析 原式==tan α,‎ 根据三角函数的定义得tan α=-.‎ ‎(2)已知f(α)=(sin α≠0,1+2sin α≠0),则f= .‎ 答案  解析 ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f====.‎ 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例2 (1)(2018·铁岭模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 因为+=,‎ 所以cos=sin=sin.‎ 因为-π<α<-,所以-<α+<-.‎ 又cos=>0,所以-<α+<-,‎ 所以sin=- ‎=-=-.‎ ‎ (2)已知-π0,∴sin x-cos x<0,‎ 故sin x-cos x=-.‎ ‎②= ‎= ‎==-.‎ 引申探究 本例(2)中若将条件“-π0,cos x<0,‎ ‎∴sin x-cos x>0,故sin x-cos x=.‎ 思维升华 (1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.‎ 跟踪训练2 (1)(2018·营口模拟)已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)‎ cos(2π+θ)-cos2θ等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 由tan 2θ=-2可得tan 2θ==-2,‎ 即tan2θ-tan θ-=0,‎ 解得tan θ=或tan θ=-.‎ 又角θ的终边在第三象限,故tan θ=,‎ 故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ ‎=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ ‎== ‎==.‎ ‎(2)已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2 019)的值为(  )‎ A.-1 B.1‎ C.3 D.-3‎ 答案 D 解析 ∵f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=3,‎ ‎∴f(2 019)=asin(2 019π+α)+bcos(2 019π+β)‎ ‎=asin(π+α)+bcos(π+β)‎ ‎=-(asin α+bcos β)=-3.‎ ‎1.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 D 解析 因为tan α=-,所以=-,‎ 所以cos α=-sin α,‎ 代入sin2α+cos2α=1,解得sin α=±,‎ 又α是第四象限角,所以sin α=-.‎ ‎2.已知α为锐角,且sin α=,则cos(π+α)等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 A 解析 ∵α为锐角,‎ ‎∴cos α==,‎ ‎∴cos(π+α)=-cos α=-.‎ ‎3.(2018·包头质检)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 D 解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),‎ ‎∴-sin θ=-cos θ,∴tan θ=.‎ 又∵|θ|<,∴θ=.‎ ‎4.(2018·盘锦质检)已知α∈,且cos α=-,则等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 C 解析 ∵α∈,且cos α=-,‎ ‎∴sin α==,‎ 则===.‎ ‎5.已知tan θ=2,则的值为(  )‎ A. B.1 C.- D.-1‎ 答案 B 解析 ∵tan θ=2,‎ ‎∴===1.‎ ‎6.(2018·营口检测)已知sin=,α∈,则sin(π+α)等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 D 解析 由已知sin=,得cos α=,‎ ‎∵α∈,∴sin α=,‎ ‎∴sin(π+α)=-sin α=-.‎ ‎7.若θ∈,则等于(  )‎ A.sin θ-cos θ B.cos θ-sin θ C.±(sin θ-cos θ) D.sin θ+cos θ 答案 A 解析 因为 ‎== ‎=|sin θ-cos θ|,‎ 又θ∈,所以sin θ-cos θ>0,‎ 所以原式=sin θ-cos θ.故选A.‎ ‎8.已知sin x+cos x=,x∈(0,π),则tan x等于(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 D 解析 由题意可知sin x+cos x=,x∈(0,π),则(sin x+cos x)2=,因为sin2x+cos2x=1,‎ 所以2sin xcos x=-,即==-,得tan x=-或tan x=-.当tan x=-时,sin x+cos x<0,不合题意,舍去,所以tan x=-.故选D.‎ ‎9.在△ABC中,若tan A=,则sin A= .‎ 答案  解析 因为tan A=>0,所以A为锐角,‎ 由tan A==以及sin2A+cos2A=1,‎ 可求得sin A=.‎ ‎10.(2018·朝阳检测)sin π·cos π·tan的值是 .‎ 答案 - 解析 原式=sin·cos·tan ‎=·· ‎=××(-)=-.‎ ‎11.已知0<α<,若cos α-sin α=-,则的值为 .‎ 答案  解析 因为cos α-sin α=-,①‎ 所以1-2sin αcos α=,‎ 即2sin αcos α=.‎ 所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=.‎ 又0<α<,‎ 所以sin α+cos α>0.‎ 所以sin α+cos α=.②‎ 由①②得sin α=,cos α=,tan α=2,‎ 所以=.‎ ‎12.(2018·葫芦岛模拟)已知k∈Z,化简:‎ = .‎ 答案 -1‎ 解析 当k=2n(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1.‎ 综上,原式=-1.‎ ‎13.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为(  )‎ A.1+ B.1- C.1± D.-1- 答案 B 解析 由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,‎ 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,‎ ‎∴=1+,‎ 解得m=1±,又Δ=4m2-16m≥0,‎ ‎∴m≤0或m≥4,∴m=1-.‎ ‎14.已知α为第二象限角,则cos α+sin α = .‎ 答案 0‎ 解析 原式=cos α +sin α ‎=cos α+sin α,‎ 因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,‎ 所以cos α+sin α=-1+1=0,‎ 即原式等于0.‎ ‎15.已知α,β∈,且sin(π-α)=cos.‎ cos(-α)=-cos(π+β),求α,β.‎ 解 由已知可得 ‎∴sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=,‎ 又α∈,∴sin α=,α=.‎ 将α=代入①中得sin β=,‎ 又β∈,∴β=,综上α=,β=.‎ ‎16.已知cos+sin=1.‎ 求cos2+cos β-1的取值范围.‎ 解 由已知得cos β=1-sin α.‎ ‎∵-1≤cos β≤1,∴-1≤1-sin α≤1,‎ 又-1≤sin α≤1,可得0≤sin α≤1,‎ ‎∴cos2+cos β-1=sin2α+1-sin α-1=sin2α-sin α ‎=2-.(*)‎ 又0≤sin α≤1,‎ ‎∴当sin α=时,(*)式取得最小值-,‎ 当sin α=0或sin α=1时,(*)式取得最大值0,故所求范围是.‎

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