【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版5-5复　数学案 13页

‎§5.5　复　数 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解复数的基本概念．‎ ‎2.理解复数相等的充要条件．‎ ‎3.了解复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎4.能进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.‎ 主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想．一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.‎ ‎1．复数的有关概念 ‎(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．‎ ‎(2)分类：‎ 满足条件(a，b为实数)‎ 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0‎ a＋bi为虚数⇔b≠0‎ a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0‎ ‎(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．‎ ‎2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.‎ ‎(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．‎ 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.‎ 概念方法微思考 ‎1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？‎ 提示　不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．‎ ‎2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？‎ 提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　)‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)‎ ‎(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)‎ ‎(4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．‎ ‎(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．设z＝＋2i，则|z|等于(　　)‎ A．0 B. C．1 D. 答案　C 解析　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，‎ ‎∴|z|＝1.故选C.‎ ‎3．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)‎ A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 答案　D 解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.‎ ‎4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．－1或1‎ 答案　A 解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．故选C.‎ ‎6．(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，‎ ‎∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．故选B.‎ ‎7．i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.‎ 答案　－i 解析　原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.‎ 题型一　复数的概念 ‎1．若复数z满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z的虚部为(　　)‎ A. B．－ C.i D．－i 答案　B 解析　因为(1＋2i)z＝1－i，‎ 所以z＝＝＝，‎ 因此复数z的虚部为－，故选B.‎ ‎2．(2019·大连质检)复数的共轭复数是(　　)‎ A．－＋i B．－－i C.－i D.＋i 答案　D 解析　由复数＝＝＝－i，‎ 所以共轭复数为＋i，故选D.‎ ‎3．(2018·抚顺模拟)已知复数是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a等于(　　)‎ A．－4 B．4‎ C．1 D．－1‎ 答案　C 解析　＝＝，‎ ‎∵复数为纯虚数，‎ ‎∴2a－2＝0且a＋4≠0，‎ 解得a＝1.故选C.‎ 思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解．‎ 题型二　复数的运算 命题点1　复数的乘法运算 例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)‎ A．－3－i B．－3＋i C．3－i D．3＋i 答案　D 解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.‎ ‎(2)i等于(　　)‎ A．3－2i B．3＋2i C．－3－2i D．－3＋2i 答案　D 解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.‎ 命题点2　复数的除法运算 例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于(　　)‎ A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 答案　D 解析　＝＝ ‎＝＝－＋i.‎ 故选D.‎ ‎(2)(2019·通辽诊断)已知i为虚数单位，复数z满足iz＝2z＋1，则z等于(　　)‎ A．－－i B.＋i C．2＋i D．2－i 答案　A 解析　由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，‎ 解得z＝＝，‎ 即z＝－－i，故选A.‎ 命题点3　复数的综合运算 例3 (1)(2019·盘锦模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于(　　)‎ A. B．3＋4i C．5 D．7‎ 答案　C 解析　z＝＝＝3＋4i，‎ 故＝3－4i⇒||＝5，故选C.‎ ‎(2)(2018·乌海模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，‎ ‎①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；‎ ‎②＝＝＝＝－i，故②正确；‎ ‎③＝＝1，故③正确；‎ ‎④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确．故选C.‎ 思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．‎ 跟踪训练1 (1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)‎ A．1或－1 B．1‎ C．－1 D．不存在的实数 答案　A 解析　由题意得＝－ai，‎ 故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.‎ ‎(2)(2019·铁岭质检)已知复数a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 答案　A 解析　由复数的运算法则，可得 ＝＝＝＝－1－i，‎ 结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，‎ 据此可得a＋b＝－2.故选A.‎ 题型三　复数的几何意义 例4 (1)(2018·赤峰质检)复数z满足(2＋i)z＝，则z在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　∵(2＋i)z＝＝＝5，‎ ‎∴(2＋i)z＝5，‎ ‎5z＝5，z＝2－i，‎ z在复平面内对应的点为，在第四象限，故选D.‎ ‎(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎①，所表示的复数；‎ ‎②对角线所表示的复数；‎ ‎③B点对应的复数．‎ 解　①∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎②∵＝－，∴所表示的复数为 ‎(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎③＝＋＝＋，‎ ‎∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ 即B点对应的复数为1＋6i.‎ 思维升华 复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．‎ 跟踪训练2 (1)(2018·阜新模拟)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数对应的点在(　　)‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 答案　A 解析　∵z＝＝＝＋i，‎ ‎∴＝－i，则z的共轭复数对应的点在第四象限．故选A.‎ ‎(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________．‎ 答案　5‎ 解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，‎ ‎∵＝x＋y，‎ ‎∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，‎ ‎∴解得故x＋y＝5.‎ ‎1．已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则等于(　　)‎ A．－8－6i B．－8＋6i C．8＋6i D．8－6i 答案　C 解析　∵z1＝6－8i，z2＝－i，‎ ‎∴＝＝＝8＋6i.‎ ‎2．(2019·包头质检)若复数z满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i为虚数单位，则|z|等于(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 答案　C 解析　由题意可得z＝，‎ 则|z|＝＝＝＝1.故选C.‎ ‎3．已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　＝＝＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，故选D.‎ ‎4．已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|等于(　　)‎ A．1 B. C. D．5‎ 答案　C 解析　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，‎ ‎∴z＝2＋i，∴|z|＝＝，故选C.‎ ‎5．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则a等于(　　)‎ A. B．－ C．2 D．－2‎ 答案　B 解析　由题意知＝ ‎＝＝＋i，‎ 又由为纯虚数，‎ 所以－2a－1＝0且a－2≠0，解得a＝－，故选B.‎ ‎6．若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)‎ A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 答案　D 解析　由题意可得z＝＝＝，‎ 所以＝－＋i，故选D.‎ ‎7．已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　)‎ A．20 B．12 C．2 D．2 答案　C 解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，‎ 则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，‎ 则解得或 即|z|＝＝＝2.故选C.‎ ‎8．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．‎ 答案　3或6‎ 解析　∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，‎ ‎∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，‎ ‎∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，‎ 解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．‎ ‎9．(2018·江苏)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．‎ 答案　2‎ 解析　由i·z＝1＋2i，得z＝＝2－i，‎ ‎∴z的实部为2.‎ ‎10．(2018·天津)i是虚数单位，复数＝________.‎ 答案　4－i 解析　＝＝＝4－i.‎ ‎11．已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________.‎ 答案　 ‎ 解析　由复数z满足z＋＝0，则z2＝－3，‎ 所以z＝±i，所以|z|＝.‎ ‎12．若复数z＝1－i，则z＋的虚部是________．‎ 答案　－ 解析　z＋＝1－i＋＝1－i＋＝－i，故虚部为－.‎ ‎13．(2018·营口质检)已知复数z满足(1－i)z＝i3，则|z|＝________.‎ 答案　 解析　由题意知z＝＝＝ ‎＝－i，‎ 则|z|＝＝.‎ ‎14．(2019·乌海调研)已知i为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z的虚部为________．‎ 答案　－ 解析　由z(1＋i)＝2－3i，‎ 得z＝＝＝＝－－i，‎ 则z的虚部为－.‎ ‎15．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)因为z＝bi(b∈R)，‎ 所以＝＝ ‎＝＝＋i.‎ 又因为是实数，所以＝0，‎ 所以b＝－2，即z＝－2i.‎ ‎(2)因为z＝－2i，m∈R，‎ 所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2‎ ‎＝(m2－4)－4mi，‎ 又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，‎ 所以解得m<－2，‎ 即m∈(－∞，－2)．‎ ‎16．若虚数z同时满足下列两个条件：‎ ‎①z＋是实数；‎ ‎②z＋3的实部与虚部互为相反数．‎ 这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．‎ 解　存在．设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，‎ 则z＋＝a＋bi＋ ‎＝a＋bi.‎ 又z＋3＝a＋3＋bi的实部与虚部互为相反数，z＋是实数，‎ 根据题意有 因为b≠0，所以 解得或 所以z＝－1－2i或z＝－2－i.‎ ‎17．(2018·本溪模拟)若复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)‎ C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ 答案　C 解析　由题意得z＝＝＝，‎ 因为z在复平面内对应的点在第一象限，‎ 所以所以－1b，则a＋i>b＋i；‎ ‎③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；‎ ‎④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限．‎ 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)‎ 答案　④‎ 解析　由复数的概念及性质知，①错误；②错误；‎ 若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；‎ z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．‎