【数学】2019届一轮复习人教A版理第9章第3节　用样本估计总体教案 11页

第三节　用样本估计总体 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画 频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标 准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布， 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想， 会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． (对应学生用书第 161 页) [基础知识填充] 1．常用统计图表 (1)频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差 组数； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区 间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图． 横轴表示样本数据，纵轴表示频率 组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内 的频率． (3)频率分布折线图和总体密度曲线 ①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到 频率分布折线图． ②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小， 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体 密度曲线． (4)茎叶图的画法： 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧． 2．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特 征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次 数最多的数 通常用于描述出现次数最多的数，显然它 对其他数据信息的忽视使得无法客观地 反映总体特征 中位数 把一组数据按大小 顺序排列，处在最中 间位置的一个数据 (或两个数据的平均 数) 中位数是样本数据所占频率的等分线，它 不受少数几个极端值的影响，这在某些情 况下是优点，但它对极端值的不敏感有时 也会成为缺点 平 均 数 如果有 n 个数据 x1， x2，…，xn，那么这 n 个数的平均数x＝1 n (x1＋x2＋…＋xn) 平均数和每一个数据有关，可以反映样本 数据全体的信息，但平均数受数据中极端 值的影响较大，使平均数在估计总体时可 靠性降低 (2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示，s＝ 1 n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]. ②方差：标准差的平方 s2 s2＝1 n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中 xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据， n 是样本容量，x是样本平均数． [知识拓展]　平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为x，那么 mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…， mxn＋a 的平均数是 mx＋a. (2)数据 x1，x2，…，xn 的方差为 s2. ①数据 x1＋a，x2＋a，…，xn＋a 的方差也为 s2； ②数据 ax1，ax2，…，axn 的方差为 a2s2. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．(　　) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. (　　) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频 率越高．(　　) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序 写，相同的数据可以只记一次．(　　) [解析]　(1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中 趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散． (3)正确．小矩形的面积＝组距×频率 组距＝频率． (4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要 重复记录，故(4)错误． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图 9­3­2 所 示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　) 图 9­3­2 A．91.5 和 91.5　 B．91.5 和 92 C．91 和 91.5 D．92 和 92 A　[这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96. ∴中位数是91＋92 2 ＝91.5， 平均数x＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96 8 ＝91.5.] 3．(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评 估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 B　[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩 产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选 B．] 4．如图 9­3­1 所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为 100，则样本 数据在[15,20]内的频数是(　　) 图 9­3­1 A．50　 B．40 C．30　　　　D．14 C　[因为[15,20]对应的小矩形的面积为 1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本 落在[15,20]的频数为 0.3×100＝30，故选 C．] 5．某校女子篮球队 7 名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图 9­3­2，已 知记录的平均身高为 175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰， 如果把其末位数字记为 x，那么 x 的值为________． 图 9­3­2 2　[170＋1 7 ×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175， 则1 7 ×(33＋x)＝5，即 33＋x＝35，解得 x＝2.] (对应学生用书第 162 页) 频率分布直方图 　(2017·北京高考)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男 女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的 分数，将数据分成 7 组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图 9­3­3 所示频率分布直方图： 图 9­3­3 (1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； (2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50) 内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女 生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． [解]　(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.02＋ 0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于 70 的频率为 1－0.6＝0.4， 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10 ＝0.9， 分数在区间[40,50)内的人数为 100－100×0.9－5＝5， 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为 400× 5 100 ＝20. (3)由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100 ＝60， 所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60×1 2 ＝30， 所以样本中的男生人数为 30×2＝60， 女生人数为 100－60＝40， 所以样本中男生和女生人数的比例为 60∶40＝3∶2， 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为 3∶2. [规律方法]　频率、频数、样本容量的计算方法 (1)频率 组距×组距＝频率. (2) 频数 样本容量＝频率，频数 频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 易错警示：绘制频率分布直方图时的 3 个注意点 (1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正 确； (2)频率分布直方图的纵坐标是频率 组距，而不是频率. (3)注意中值估算法. [跟踪训练]　(1)(2017·河南新乡调研)统计新生婴儿的体重，其频率分布直方 图如图 9­3­4 所示(每组含右端点，不含左端点)，则新生婴儿体重在(2 700,3 000] 克内的频率为(　　) 【导学号：97190331】 图 9­3­4 A．0.001　　　　　B．0.1 C．0.2 D．0.3 (2)(2016·山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)， 制成了如图 9­3­5 所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样 本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是(　　) 图 9­3­5 A．56 B．60　　　C．120　　　D．140 (1)D　(2)D　[(1)每组的频率即为相应小长方形的面积，300×0.001＝0.3. (2)由频率分布直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为(0.16＋ 0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于 22.5 小时的人数为 0.7×200＝140. 故选 D．] 茎叶图 　(1)某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数茎叶图如图 9­3­6 所 示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　) 图 9­3­6 A．117 B．118 C．118.5 D．119.5 (2)(2017·山东高考)如图 9­3­7 所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某 日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为(　　) 图 9­3­7 A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 (1)B　(2)A　[(1)22 次考试中，所得分数最高的为 98，最低的为 56，所以极 差为 98－56＝42， 将分数从小到大排列，中间两数为 76,76，∴中位数为 76， ∴此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42＋76＝118. (2)甲组数据的中位数为 65，由甲、乙两组数据的中位数相等得 y＝5.又甲、 乙两组数据的平均值相等，∴1 5 ×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝1 5 ×(59＋61＋67＋ 65＋78)， ∴x＝3.故选 A．] [规律方法]　茎叶图中的两个关注点 (1)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏. (2)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重 心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小. 易错警示：茎叶图中数字大小排列不一定从小到大排列，一定要看清楚. [跟踪训练]　(2017·湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，0～50 为优；51～100 为良；101～150 为轻度污染；151～200 为中度污染；201～300 为重度污染；大于 300 为严重污染．从某地一环保人士某年的 AQI 记录数据中， 随机抽取 10 个，用茎叶图记录如下图 9­3­8.根据该统计数据，估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为________．(该年为 365 天) 【导学号：97190332】 图 9­3­8 146　[该样本中 AQI 大于 100 的频数是 4，频率为2 5 ， 由此估计该地全年 AQI 大于 100 的频率为2 5 ， 估计此时该年 AQI 大于 100 的天数约为 365×2 5 ＝146.] 样本的数字特征 　某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机 抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下： (a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)， (a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)， 其中 a，a分别表示甲组研发成功和失败；b，b分别表示乙组研发成功和失 败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分．试计算甲、 乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成 功的概率． [解]　(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝10 15 ＝2 3 ； 方差为 s 2甲＝ 1 15[(1－2 3) × 10＋(0－2 3) × 5]＝2 9. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x乙＝ 9 15 ＝3 5 ； 方差为 s 2乙＝ 1 15[(1－3 5) × 9＋(0－3 5) × 6]＝ 6 25. 因为x甲＞x乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记 E＝{恰有一组研发成功}． 在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a， b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共 7 个，故事件 E 发生的频率为 7 15.将频率 视为概率，即得所求概率为 P(E)＝ 7 15. [规律方法]　1.平均数、方差与标准差的意义 平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均 数的波动大小.进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式. 2.利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法 (1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由 此可以估计中位数值. (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之 和. (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标. 3.熟记求平均数，方差的公式. [跟踪训练]　(1)(2018·江西九校联考)如图 9­3­9 是一名篮球运动员在最近 6 场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是 (　　) 图 9­3­9 A．中位数为 14 B．众数为 13 C．平均数为 15 D．方差为 19 (2)(2017·贵州省适应性考试)一组样本数据的频率分布直方图如图 9­3­10 所 示，试估计此样本数据的中位数为(　　) 图 9­3­10 A．13 B．12 C．11.52 D．100 9 (1)D　(2)D　[(1)由茎叶图知，该运动员所得分数的中位数为13＋15 2 ＝14， 众数为 13，平均数为8＋13＋13＋15＋20＋21 6 ＝15，方差为1 6[(8－15)2＋(13－15)2 ＋(13－15)2＋(15－15)2＋(20－15)2＋(21－15)2]＝59 3 ，所以 D 错误，故选 D． (2)由频率分布直方图可得第一组的频率是 0.08，第二组的频率是 0.32，第 三组的频率是 0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为 10＋ 0.1 0.36 ×4 ＝100 9 ，选项 D 正确．]