河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考数学（理）试卷 8页

数学（理）试卷 ‎ （时间120分钟，满分150分） ‎ 一、选择题：(每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1. 已知集合，则集合( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝+3x﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学下一步应计算的函数值为（　　）‎ A．f（0.5） B．f（1.125） C．f（1.25） D．f（1.75）‎ 4. 下列命题中错误命题的个数有(　　)个 ‎（1）若命题p为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；‎ ‎（2）命题“，则或”的否命题为“”；‎ ‎（3）对立事件一定是互斥事件；‎ ‎（4）A,B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．已知，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则D（ξ）＝（　　）‎ A．0.09 B．9 C．1 D．0.9‎ ‎8．的展开式中的系数为（　　）‎ A．400 B．120 C．80 D．0‎ 9. 函数的部分图象大致是 ‎10．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+4y﹣a＝0（a＞0），若C上的点到l的距离的最大值为，则a＝（　　）‎ A．12 B．22 C．17 D．12或22‎ ‎11．已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的偶函数，且f（x﹣1）为奇函数，当x∈[0，1]时，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）‎ A． ‎ B． C． D． ‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．若，则　 　． ‎ ‎14．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的有　 　．‎ ‎① ② ③a2＞b2 ④a3＞b3‎ 15． 已知函数，则f（2）= ．‎ 16． 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______．‎ 三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）≤4；‎ ‎（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b，‎ 求证：log3（）≥2．‎ ‎19、（本小题满分12分）今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科．已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人．按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．‎ ‎（Ⅰ）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表．并根据K2统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．‎ K2的计算公式：‎ 临界值表如下：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k0‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎20、（本小题满分12分）已知函数，当x＝1时，f（x）取得极小值2．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．‎ ‎21、（本小题满分12分）已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；‎ ‎（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．‎ ‎22、（本小题满分12分）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为。‎ ‎(1)求： ； (2)求证：；‎ 高二理数答案 一、 选择题 ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C C C A C D D B A B D 二、填空题 ‎13、‎ ‎14、④‎ ‎15、2‎ ‎16、120‎ 三、解答题 ‎17、解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．‎ ‎∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2﹣4x＝0．‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4；………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）把代入x2+y2﹣4x＝0，得．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣3．‎ 不妨设t1＜0，t2＞0，‎ ‎∴．……………………（10分）‎ ‎18、解：（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|，‎ 由f（x）≤4得，或或，‎ ‎∴﹣2≤x＜﹣1或﹣1≤x或x≤6，∴不等式的解集为：{x|﹣2≤x≤6}．………（5分）‎ ‎（2）f（x）+3|x+1|＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，‎ 当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即﹣1≤x时取等号，∴m＝3， ………（8分）‎ ‎∴a+b＝1，∴5‎ ‎≥5+29，当且仅当，即a时取等号，‎ ‎∴log3log39＝2． ………………………………………（12分）‎ ‎19、解：（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，‎ ‎16个女生，结合题目数据可得列联表如下；‎ 物理 历史 合计 男生 ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ 女生 ‎10‎ ‎6‎ ‎16‎ 合计 ‎27‎ ‎9‎ ‎36‎ 根据表中数据，计算，‎ 而P（K2≥2.4）＞P（K2≥2.706）＝0.10，‎ 所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关； ……………………（6分）‎ ‎（II）由（I）知在样本里选历史的有9人，其中男生3人，女生6人；‎ 所以ξ可能的取值有2，0，﹣2，﹣4；‎ 且P（ξ＝2）＝P（X＝3且Y＝1），‎ P（ξ＝0）＝P（X＝2且Y＝2）；‎ P（ξ＝﹣2）＝P（X＝1且Y＝3），‎ P（ξ＝﹣4）＝P（X＝0且Y＝4）；‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎0‎ ‎﹣2‎ ‎﹣4‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ξ的期望为． ………（12分）‎ ‎20、解：（Ⅰ）根据题意，，则，‎ 因为x＝1时，f（x）有极小值2，则有，‎ 解可得：，所以，‎ 经检验符合题意，则a，b＝1； ………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（1）知 当时，由，由f'（x）＞0得x∈（1，2），‎ 所以上单调递减，在（1，2）上单调递增，则fmin（x）＝f（1）＝2，‎ 又由，‎ 得． ‎ 函数f(x)的最小值为2，最大值是5-2ln2 ………………………………………（12分）‎ ‎21、解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣sinx+1，则f'（x）＝ex﹣cosx≥0，且当x＝0时f'（x）＝0，‎ ‎∴f（x）在[0，）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝2，‎ ‎∴对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2； ……………… ……………………（4分）‎ ‎（2）令f（x）＝0，则a，令g（x）（0≤x≤π），‎ 函数f（x）在[0，]上存在两个零点，即 函数y＝a与函数g（x）在[0，]上有两个不同的交点，‎ 由g（x）得，g'（x），‎ 令g（x）＝0，则sin（x），∵x∈[0，]，∴x或x，‎ ‎∴当0＜x时，g'（x）＞0；当x时，g'（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴，‎ 又g（0）＝﹣1，g（），∴当x∈[，0）时，y＝a与g（x）有两个交点，‎ ‎∴a的取值范围为：[，0）． ……………… ……………………（12分）‎ ‎22、解：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P2=P1·+(1－P1)·=。 …………（4分）‎ ‎(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有 Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1+，‎ 再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－ ‎∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列 Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1‎ ‎∴当n≥2时，Pn<+= ……………… ……………………（12分）‎