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- 2021-06-16 发布
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第 17 讲 定积分与微积分基本定理
考纲要求 考情分析 命题趋势
2015·天津卷，11
2015·湖南卷，11
2015·陕西卷，16
1．了解定积分的实
际背景、基本思想及概念．
2．了解微积分基本
定理的含义. 分值：5 分
定积分与微积分基本定
理难度不大，常常考查定积分的
计算和求曲边梯形的面积.
1．定积分的定义及相关概念
一般地，如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x03，
所以 s21，若∫t
1(2x＋1)dx＝t2，则 t＝__2__.,
解析 ∫t
1(2x＋1)dx＝(x2＋x)|t1＝t2＋t－2
从而得方程 t2＋t－2＝t2，解得 t＝2.
5．汽车以 36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以减速度 a＝2 m/s2 刹车，
则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__25__m.,
解析 t＝0 时，v0＝36 km/h＝10 m/s，刹车后，汽车减速行驶，速度为 v(t)＝v0－at＝10
－2t，由 v(t)＝0 得 t＝5 s，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为 ∫5
0v(t)dt＝∫5
0(10－2t)dt＝
(10t－t2)|50＝25(m)．
, ,
一 定积分的计算,
计算定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差．
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分．
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．
(5)计算原始定积分的值．
【例 1】 计算下列定积分．
(1)∫1
0(－x2＋2x)dx；(2)∫π
0(sin x－cos x)dx；
(3)∫2
1(e2x＋1
x)dx；(4)∫π
20 1－sin 2x dx.
解析 (1)∫1
0(－x2＋2x)dx＝∫1
0(－x2)dx＋∫1
02x dx
＝(－1
3x3
)|10＋(x2)|10＝－1
3＋1＝2
3.
(2)∫π
0(sin x－cos x)dx＝∫π
0sin x dx－∫π
0cos x dx,＝(－cos x)|π0－sin x|π0＝2.
(3)∫2
1(e2x＋1
x)dx＝∫2
1e2xdx＋∫2
1
1
xdx＝1
2e2x21＋ln x|21,＝1
2e4－1
2e2＋ln 2－ln 1＝1
2e4－1
2e2＋ln 2.
(4) ∫
π
2
0
1－sin 2x dx＝∫
π
2
0
|sin x－cos x|dx,＝∫
π
4
0
(cos x－sin x)dx＋∫
π
2π
4
(sin x－
cos x)dx,＝(sin x＋cos x)Error!＋(－cos x－sin x)Error!,＝ 2－1＋(－1＋ 2)＝2 2－2.
二 定积分几何意义的应用,
(1)利用定积分求平面图形面积的步骤：
①根据题意画出图形；
②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限；
③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；
④计算定积分，写出答案．
(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条
件构造方程(不等式)求解．
【例 2】 (1)由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C )
A．10
3 B．4
C．16
3 D．6
(2)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图
中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为__1．2__.
解析 (1)作出曲线 y＝ x和直线 y＝x－2 的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面
积．,由Error!得交点 A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
∫4
0[ x－(x－2)]dx＝∫4
0( x－x＋2)dx＝(
2
3x3
2－1
2x2＋2x)40＝2
3×8－1
2×16＋2×4＝16
3 .,(2)建
立如图所示的平面直角坐标系
由抛物线过点(0，－2)，(－5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝ 2
25x2－2，抛物线
与 x 轴围成的面积 S1＝∫5－
5 (2－ 2
25x2
)dx＝40
3 ，梯形面积 S2＝
(6＋10) × 2
2 ＝16，最大流量比
为 S2∶S1＝6∶5.
三 定积分在物理中的应用
定积分在物理中的两个应用
(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时刻 t＝a
到 t＝b 所经过的路程 s＝∫b
av(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b
时，力 F(x)所做的功是 W＝∫b
aF(x)dx.
【例 3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－
3t＋ 25
1＋t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是
( C )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 11
3
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝Error!(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到
x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为__36__J.
解析 (1)由 v(t)＝7－3t＋ 25
1＋t＝0，可得 t＝4(t＝－8
3舍去)，因此汽车从刹车到停止一共
行驶了 4 s，此期间行驶的距离为
∫4
0v(t)dt＝∫4
0(7－3t＋ 25
1＋t)dt＝[7t－3
2t2＋25ln(1＋t)
]|40,＝4＋25ln 5 (m)．,(2)由题意知，力
F(x) 所 做 的 功 为 ,W ＝ ∫4
0F(x)dx ＝ ∫2
05 dx ＋ ∫4
2(3x ＋ 4)dx ＝ 5×2 ＋ (
3
2x2＋4x)42, ＝ 10 ＋
[
3
2 × 42＋4 × 4－(
3
2 × 22＋4 × 2)]＝36 J.
1．定积分∫1
0 x(2－x) dx 的值为( A )
A．π
4 B．π
2
C．π D．2π
解析 令 y＝ x(2－x)，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，由定积分的几何意义知，∫1
0 x(2－x)dx
的值为区域Error!的面积，即为π
4.
2．计算：∫3
－3
(x3cos x)dx＝__0__.
解析 ∵y＝x3cos x 为奇函数，∴∫3
－3
(x3cos x)dx＝0.
3．如图，由两条曲线 y＝－x2，y＝－1
4x2 及直线 y＝－1 所围成的平面图形的面积为！！！
4
3 ###.
解析 由Error!得交点 A(－1，－1)，B(1，－1)．
由Error!得交点 C(－2，－1)，D(2，－1)．
所以所求面积
S＝2[∫1
0 (－1
4x2＋x2
)dx＋ ∫2
1 (－1
4x2＋1)dx]＝4
3.
4．如图，圆 O：x2＋y2＝π2 内的正弦曲线 y＝sin x 与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影
部分)，随机向圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率为！！！ 4
π3 ###.
解析 阴影部分的面积为 2∫π
0sin x dx＝2(－cos x)|π0＝4，圆的面积为 π3，所以点 A 落在
区域 M 内的概率是 4
π3.
易错点 定积分的几何意义不明确
错因分析：∫b
af(x)dx 不一定表示面积，也可能是面积的相反数，它可正，可负，也可为
零．
【例 1】 求曲线 f(x)＝sin x，x∈[0，5
4π]与 x 轴围成的图形的面积．
解析 当 x∈[0，π]时，f(x)≥0，当 x∈(π，5
4π]时，f(x)<0.
则所求面积 S＝∫π
0sin x dx＋(－∫5
4ππsin x dx)＝－cos x|π0＋cos x|
5
4ππ＝2＋(－ 2
2 ＋1)＝3－
2
2 .
【跟踪训练 1】 (2018·山东淄博一模)如图所示，曲线 y＝x 2－1，x＝2，x＝0，y＝0 围
成的阴影部分的面积为( A )
A．∫2
0|x2－1|dx B．|∫2
0 (x2－1)dx|
C．∫2
0(x2－1)dx D．∫1
0(x2－1)dx＋∫2
1(1－x2)dx
解析 由曲线 y＝|x2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即∫2
0
|x2－1|dx.
课时达标 第 17 讲
[解密考纲]本考点主要考查利用微积分基本定理以及积分的性质求定积分、曲边梯形的
面积，常与导数、概率相结合命题，通常以选择题的形式呈现，题目难度中等．
一、选择题
1．∫1
0exdx 的值等于( C )
A．e B．1－e
C．e－1 D．1
2(e－1)
解析 ∫1
0exdx＝ex|10＝e1－e0＝e－1，故选 C．
2．∫e
1(2x＋1
x)dx＝( C )
A．e2－2 B．e－1
C．e2 D．e＋1
解析 ∫e
1(2x＋1
x)dx＝(x2＋ln x)|e1＝e2.故选 C．
3．求曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( A )
A．S＝∫1
0(x－x2)dx B．S＝∫1
0(x2－x)dx
C．S＝∫1
0(y2－y)dy D．S＝∫1
0(y－ y)dy
解析 由图象可得 S＝∫1
0(x－x2)dx.
第 3 题图 第 4 题图
4．曲线 y＝2
x与直线 y＝x－1 及直线 x＝4 所围成的封闭图形的面积为( D )
A．2ln 2 B．2－ln 2
C．4－ln 2 D．4－2ln 2
解析 由曲线 y＝2
x与直线 y＝x－1 及 x＝4 所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，
故所求图形的面积为
S＝∫4
2(x－1－2
x)dx＝(1
2x2－x－2ln x)|42＝4－2ln 2.
5．设 f(x)＝Error!(其中 e 为自然对数的底数)，则 ∫e
0f(x)dx 的值为( A )
A．4
3 B．1
π
C．1
2 D．π－2
π
解析 ∫e
0f(x)dx＝∫1
0x2dx＋∫e
1
1
x dx＝1
3x3|10＋ln x|e1＝1
3＋1＝4
3，故选 A．
6．如图，设 D 是图中所示的矩形区域，E 是 D 内函数 y＝cos x 图象上方的点构成的区
域(阴影部分)，向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为( D )
A．2
π B．1
π
C．1
2 D．π－2
π
解析 因为 ∫
π
2
0
cos x dx＝sin xError!＝1
故所求概率为π－1 × 2
π ＝π－2
π .
二、填空题
7．∫
π
2
0
(cos x－sin x)dx＝__0__.
解析 ∫
π
2
0
(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x) Error!＝0.
8．若函数 f(x)＝x＋1
x，则 ∫e
1f(x)dx＝！！！ e2＋1
2 ###.
解析 ∫e
1(x＋1
x )dx＝(
x2
2＋ln x)|e1＝e2＋1
2 .
9．由曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝π
2所围成的平面图形(图中的阴影部分)
的面积是！！！ 2 2－2 ###.
解析 由图可得阴影部分面积 S＝2 ∫
π
4
0
(cos x－sin x)dx＝2(sin x＋cos x) Error!＝
2( 2－1)．
三、解答题
10.求下列定积分．,(1)∫2
1(x－x2＋1
x)dx；(2)∫0－π(cos x＋ex)dx.
解析 (1)∫2
1(x－x2＋1
x)dx＝∫2
1x dx－∫2
1x2dx＋∫2
1
1
x dx＝x2
221－x3
321＋ln x|21＝3
2－7
3＋ln 2＝
ln 2－5
6.
(2) ∫0
－π (cos x＋ex)dx＝∫0
－π cos xdx＋∫0
－π exdx＝sin x| 0－π＋ex| 0－π＝1－1
eπ.
11．已知函数 f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数 g(x)＝x2 围成的图形的
面积．
解析 ∵(1,2)为曲线 f(x)＝x3－x2＋x＋1 上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为 k
则 k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2
∴在点(1,2)处的切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x，y＝2x 与函数 g(x)＝x 2 围成的图
形如图．,由Error!可得交点 A(2,4)．
∴y＝2x 与函数 g(x)＝x2 围成的图形的面积
S＝∫2
0(2x－x2)dx＝(x2－1
3x3
)|20＝4－8
3＝4
3.,12.已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，直线 l1：x＝
2，直线 l2：y＝－t2＋8t(其中 0≤t≤2，t 为常数)，若直线 l1，l2 与函数 f(x)的图象以及 l2，y
轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．,(1)求 a，b，c 的值；,(2)求阴
影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式．,
解析 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且 f(x)的最大值为 16，则Error!
解得Error!
(2)由(1)知，函数 f(x)的解析式为 f(x)＝－x2＋8x.
由Error!得 x2－8x－t(t－8)＝0，∴x1＝t，x2＝8－t.
∵0≤t≤2，∴直线 l2 与 f(x)的图象位于 l1 左侧的交点坐标为(t，－t2＋8t)，由定积分的
几何意义知：
S(t)＝∫t
0[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋∫2
t [(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx＝
[(－t2＋8t)x－(－x3
3＋4x2
)]|t0＋[(－x3
3＋4x2
)－(－t2＋8t)x]|2t＝－4
3t3＋10t2－16t＋40
3 .
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