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- 2021-06-16 发布
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不等式的综合应用
【考纲要求】
1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力;
2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式;
3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题;
4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力;
5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题.
6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识..
【知识网络】
不等式的综合应用
解不等式问题
实际应用问题
不等式中的含参问题
不等式证明
【考点梳理】
考点一:不等式问题中相关方法
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰.
2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函
数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.
3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式
化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用.
4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→变形
→判断符号(值).
5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维
等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的.
6.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的
基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.
考点二:不等式与相关知识的渗透
1.不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。
2.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利用不等式解应用题的基本步骤:10审题,20建立不等式模型,30解数学问题,40作答。
要点诠释:⑴解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解,。
⑵解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。
⑶不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。
⑷根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。
【典型例题】
类型一:不等式求解问题
例1.解关于的不等式:
【思路点拨】含绝对值的不等式问题应该先考虑分情况讨论去掉不等式。
解:当
【总结升华】含参数问题应该首先考虑到是否需要分类讨论,绝对值问题往往需要根据绝对值内与零的关系进行讨论。
举一反三:
基本不等式394889
【变式1】已知函数
(1)若的图像与x轴恰有一个公共点,求a的值;
(2)若方程至少有一个正跟,求a的范围。
解:(1)当时函数为一次函数,符合题意;
当时,函数为二次函数,则
,所以
综上,.
(2)当时,为一次方程,不符合题意;
当时, 为二次方程,显然
所以时有一正一负根,符合题意;
当时,
综上,a的范围.
类型二:不等式证明
【例2】(2014 南京校级四模)已知a>0,b>0且a+b=1求证:
【思路点拨】利用不等式
【证明】若x>0,y>0,则
即
所以当a>0,b>0,且a+b=1时
当且仅当即时取等号.
【总结升华】本题考查不等式的证明,解题关键时要注意到基本不等式与均值不等式之间的关系,同时要考虑到不等式中等号成立的条件.
举一反三:
【变式】(2014 衡阳县校级模拟)(1)已知函数,设是函数y=f(x)图像的一条对称轴,求的值.
(1)已知函数在时,成立,求的取值范围.
【解析】(1)由题意
是函数的一条对称轴
当为偶数时, ,当为奇数时
(2)成立
(时取等号)
类型三:不等式与相关知识的融合
例3.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时|f(x)|≤1.
(1)证明:|c|≤1;
(2)证明:当-1 ≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,有-1≤x≤1时, g(x)的最大值为2,求f(x).
【思路点拨】关于函数不等式,需要对自变量灵活取值,凑出需要的函数值。
(1)证明:由条件当=1≤x≤1时,|f(x)|≤1,取x=0得:|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.
(2)证法一:依题设|f(0)|≤1而f(0)=c,所以|c|≤1.
当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,于是
g(-1)≤g(x)≤g(1),(-1≤x≤1).
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),|c|≤1,
∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|=2,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-2)|+|c|)≥-2,
因此得|g(x)|≤2 (-1≤x≤1);
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
于是g(-1)≥g(x)≥g(1),(-1≤x≤1),
∵|f(x)|≤1 (-1≤x≤1),|c|≤1
∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.
综合以上结果,当-1≤x≤1时,都有|g(x)|≤2.
证法二:∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1)
∴|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,|f(0)|≤1,
∵f(x)=ax2+bx+c,∴|a-b+c|≤1,|a+b+c|≤1,|c|≤1,
因此,根据绝对值不等式性质得:
|a-b|=|(a-b+c)-c|≤|a-b+c|+|c|≤2,
|a+b|=|(a+b+c)-c|≤|a+b+c|+|c|≤2,
∵g(x)=ax+b,∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2,
函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,因此|g(x)|在[-1,1]上的最大值只能在区间的端点x=-1或x=1处取得,于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2,(-1<x<1.
当-1≤x≤1时,有0≤≤1,-1≤≤0,
∵|f(x)|≤1,(-1≤x≤1),∴|f |≤1,|f()|≤1;
因此当-1≤x≤1时,|g(x)|≤|f |+|f()|≤2.
(3)解:因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,即
g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2. ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,∴c=f(0)=-1.
因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),
根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,
由此得-<0 ,即b=0.
由①得a=2,所以f(x)=2x2-1.
举一反三:
【变式1】已知函数f(x)= (b<0)的值域是[1,3],
(1)求b、c的值;
(2)判断函数F(x)=lgf(x),当x∈[-1,1]时的单调性,并证明你的结论;
(3)若t∈R,求证:lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.
【解析】设y=,则(y-2)x2-bx+y-c=0 ①
∵x∈R,∴①的判别式Δ≥0,即 b2-4(y-2)(y-c)≥0,
即4y2-4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由条件知,不等式②的解集是[1,3]
∴1,3是方程4y2-4(2+c)y+8c+b2=0的两根
∴c=2,b=-2,b=2(舍)
(2)任取x1,x2∈[-1,1],且x2>x1,则x2-x1>0,且
(x2-x1)(1-x1x2)>0,∴f(x2)-f(x1)=->0,
∴f(x2)>f(x1),lgf(x2)>lgf(x1),即F(x2)>F(x1)
∴F(x)为增函数.
即-≤u≤,根据F(x)的单调性知
F(-)≤F(u)≤F(),∴lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg对任意实数t 成立.
类型四:不等式相关应用题
例4.用一块钢锭烧铸一个厚度均匀,且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器,设容器高为h米,盖子边长为a米,
(1)求a关于h的解析式;
(2)设容器的容积为V立方米,则当h为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器厚度)
【思路点拨】应用题需要首先读懂题意,然后把实际问题转化为数学模型问题。
【解析】①设h′是正四棱锥的斜高,由题设可得:
消去
②由 (h>0)
得:
所以V≤,当且仅当h=即h=1时取等号
故当h=1米时,V有最大值,V的最大值为立方米.
【总结升华】应用题根据题意建立合适的函数模型是最重要的,本题中需要建立体积V关于高h的函数
举一反三:
【变式1】 某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件,假若定价上涨x成(这里x成即,0<x≤10.每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的 z倍.
(1)设y=ax,其中a是满足≤a<1的常数,用a来表示当售货金额最大时的x的值;
(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.
【解析】 (1)由题意知某商品定价上涨x成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是:p(1+)元、n(1-)元、npz元,因而
,在y=ax的条件下,z=[-a
[x-]2+100+].由于≤a<1,则0<≤10.
要使售货金额最大,即使z值最大,此时x=.
(2)由z= (10+x)(10-x)>1,解得0<x<5.