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- 2021-06-16 发布
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第12讲 圆锥曲线的定义、方程、几何性质
题型1 圆锥曲线的定义、标准方程
(对应 生用书第40页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查圆锥曲线标准方程的求解)设双曲线与椭圆+=1相交且有共同的焦点,其中一个交点的坐标为(,4),则此双曲线的标准方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[思路分析] 依据已知条件,得出双曲线的焦点坐标和双曲线过点(,4),利用定义法、待定系数法或共焦点曲线系方程求解即可.
[解析] 法一:(定义法)椭圆+=1的焦点坐标分别是(0,3),(0,-3).
根据双曲线的定义知,2a=|-
eq
((
(15)-0)2+[4-(-3)]2)|=4,
解得a=2,又b2=c2-a2=5,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.
法二:(待定系数法)椭圆+=1的焦点坐标分别是(0,3),(0,-3).
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则a2+b2=9.①
又点(,4)在双曲线上,所以-=1.②
由①②解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.
法三:(共焦点的曲线系方程)设双曲线的方程为+=1(27<λ<36),由于双曲线过点(,4),故+=1,解得λ=32或λ=0(舍去).故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.
[答案] A
【典题2】 (考圆锥曲线定义的应用)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
【导 号:07804086】
A. B.3 C. D.2
[解析] 如图所示,因为=4,所以=,过点Q作QM⊥l垂足为M,则MQ∥x轴,
所以==,所以|MQ|=3,由抛物线定义知|QF|=|QM|=3.
[答案] B
【典题3】 (考查圆锥曲线的轨迹问题)(2017·福建泉州二模)在△ABC中,O是
BC的中点,|BC|=3,△ABC的周长为6+3,若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|,建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程.
[解] 以O为坐标原点,BC为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy.依题意,得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6,故|AB|+|AC|=6>|BC|,所以A的轨迹是以B,C为焦点,长轴长为6的椭圆(除去长轴端点).所以点A的轨迹方程为+=1(x≠±3).设A(x0,y0),T(x,y),依题意=,所以(x,y)=(x0,y0),即代入A的轨迹方程+=1(x≠±3),得+=1(x≠±1),所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x≠±1).
[类题通法]
1.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”
(1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程.
(2)计算,即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
2.转化法
利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,它的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若△AOB的面积为,则抛物线的准线方程为( )
A.x=-2 B.x=2
C.x=1 D.x=-1
D [因为e==2,所以c=2a,b=a,双曲线的渐近线方程为y=±x.又抛物线的准线方程为x=-,联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得
A,B,在△AOB中,|AB|=p,点O到AB的距离为,所以·p·=,所以p=2,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选D.]
2.设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足·=9,则||·||的值为( )
【导 号:07804087】
A.8 B.10
C.12 D.15
D [因为P是椭圆+=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,所以|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=4.因为·=9,所以||·||cos∠F1PF2=9.因为||2=||2+||2-2||·||·cos∠F1PF2=(||+||)2-2||·||-2||·||cos∠F1PF2,所以64-2||·||-18=16.所以||·||=15.故选D.]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)
题型2 圆锥曲线的几何性质
(对应 生用书第41页)
■核心知识储备………………………………………………………………………·
1.椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系
(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==;
(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
注意离心率e与渐近线的斜率的关系.
■典题试解寻法………………………………………………………………………·
【典题1】 (考查椭圆、双曲线的几何性质)已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1(a>b>0)的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
[思路分析] +=1(a>b>0)
双曲线的方程―→双曲线的渐近线椭圆的离心率.
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),则由题意可知双曲线的方程为-=1,其渐近线方程为y=±x.因为双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,所以由椭圆的对称性可知,渐近线的方程为y=±x,即b=c,所以a==c,故椭圆的离心率e=,故选C.
[答案] C
【典题2】 (考查抛物线的几何性质)已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=( )
【导 号:07804088】
A. B.
C. D.
[思路分析] 先由抛物线的焦点坐标与双曲线的焦点坐标得出直线方程,再对抛物线方程求导,设点M的坐标为(x0,y0),代入即可求得过点M
的切线方程的斜率,结合C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线以及点M在抛物线上可得点M的坐标,把点M的坐标代入直线方程,求解即可.
[解析] 由题意知,抛物线的焦点坐标为,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为+=1.
易知双曲线的渐近线方程为 y=±x.对函数y=x2求导,得y′=x.设M(x0,y0),则x0=,即x0=p,代入抛物线方程得y0=p,即M.由于点M在直线+=1上,所以p+×=1,解得p==.故选C.
[答案] C
[类题通法]
确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
提醒:求椭圆、双曲线的离心率,常利用方程思想及整体代入法,该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到.
■对点即时训练………………………………………………………………………·
1.已知椭圆+=1(a>b>0),A,B为椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D [设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
则
即
所以(x1-x2)=(x-x),
所以=x1+x2.
又-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2,所以-2a<x1+x2<2a,则<2a,即<,所以e2>.又0<e<1,所以<e<1.]
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,倾斜角为的直线l过F2且与双曲线交于M,N两点,且△F1MN是等边三角形,则双曲线的渐近线方程为________.
y=±x [由题意知,F2(c,0),c=,设M(c,yM),由-=1得y=b2×=,|yM|=.因为△F1MN是等边三角形,所以2c=|yM|,即==,
即c2-a2-ac=0,
得=,c2=3a2,
又a2+b2=c2,
所以b2=2a2,
双曲线的渐近线方程为y=±x,
故双曲线的渐近线方程为y=±x.]
■题型强化集训………………………………………………………………………·
(见专题限时集训T3、T4、T5、T6、T7、T12、T14)
三年真题| 验收复习效果
(对应 生用书第42页)
1.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
B [由y=x可得=.①
由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程为-=1.
故选B.]
2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,)
C.(0,3) D.(0,)
A [若双曲线的焦点在x轴上,则
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-13m2且n<-m2,此时n不存在.故选A.]
3.(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
【导 号:07804089】
A.2 B.4
C.6 D.8
B [设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.
∵|AB|=4,|DE|=2,
抛物线的准线方程为x=-,
∴不妨设A,D.
∵点A,D在圆x2+y2=r2上,
∴∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).
∴C的焦点到准线的距离为4.]
4.(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [由题意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).
∵·<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,
即x-3+y<0.
∵点M(x0,y0)在双曲线上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-3+y<0,∴-