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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-5-2椭 圆学案

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第2课时 直线与椭圆 题型一 直线与椭圆的位置关系 ‎1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是(  )‎ A.m>1 B.m>0‎ C.00且m≠5,∴m≥1且m≠5.‎ ‎2.已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:‎ ‎(1)有两个不重合的公共点;‎ ‎(2)有且只有一个公共点;‎ ‎(3)没有公共点.‎ 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立,‎ 得方程组 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③‎ 方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.‎ ‎(1)当Δ>0,即-33时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.‎ 思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法 ‎(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.‎ ‎(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.‎ 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题 例1 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(  )‎ A.2 B. C. D. 答案 C 解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),‎ 直线l的方程为y=x+t,‎ 由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,‎ 则x1+x2=-t,x1x2=.‎ ‎∴|AB|=|x1-x2|‎ ‎=· ‎=·=·,‎ 当t=0时,|AB|max=.‎ 命题点2 中点弦问题 例2 已知P(1,1)为椭圆+=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为________________.‎ 答案 x+2y-3=0‎ 解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设其方程为y-1=k(x-1),弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由 消去y得,(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,‎ ‎∴x1+x2=,又∵x1+x2=2,‎ ‎∴=2,解得k=-.‎ 经检验,k=-满足题意.‎ 故此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),‎ 即x+2y-3=0.‎ 方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设斜率为k,弦所在的直线与椭圆相交于A,B两点,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则+=1,①‎ +=1,②‎ ‎①-②得+=0,‎ ‎∵x1+x2=2,y1+y2=2,‎ ‎∴+y1-y2=0,∴k==-.‎ 经检验,k=-满足题意.‎ ‎∴此弦所在的直线方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.‎ 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决,往往会更简单.记住必须检验.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ‎= (k为直线斜率).‎ ‎(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.‎ 跟踪训练1 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E 的方程.‎ 解 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,‎ 则原点O到该直线的距离d==,‎ 由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.‎ ‎(2)方法一 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①‎ 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.‎ 易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,‎ x1x2=,‎ 由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,‎ 从而x1x2=8-2b2.‎ 于是|AB|=|x1-x2|‎ ‎==,‎ 由|AB|=,得=,解得b2=3,‎ 故椭圆E的方程为+=1.‎ 方法二 由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,②‎ 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x+4y=4b2,x+4y=4b2,‎ 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,‎ 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,‎ 所以AB的斜率kAB==,‎ 因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,‎ 代入②得x2+4x+8-2b2=0,‎ 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2,‎ 于是|AB|= |x1-x2|‎ ‎==.‎ 由|AB|=,得=,解得b2=3,‎ 故椭圆E的方程为+=1.‎ 题型三 椭圆与向量等知识的综合 例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>1).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求实数λ的值.‎ 解 (1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=,∴a=2,‎ 故b2=a2-c2=3,‎ ‎∴椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由=λ,可知A,B,F三点共线,‎ 设点A(x1,y1),点B(x2,y2).‎ 若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意;‎ 当AB所在直线l的斜率k存在时,‎ 设l的方程为y=k(x-1).‎ 由消去y得 ‎(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.①‎ ‎①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)‎ ‎=144(k2+1)>0.‎ ‎∵ ‎∴x1+x2==2×=,∴k2=.‎ 将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0,‎ 解得x=.‎ 又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ,‎ 即1-x1=λ(x2-1),λ=,又λ>1,∴λ=.‎ 思维升华 一般地,在椭圆与向量等知识的综合问题中,平面向量只起“背景”或“结论”的作用,几乎都不会在向量的知识上设置障碍,所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.‎ 跟踪训练2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),短轴的两个端点分别为B1,B2.‎ ‎(1)若△F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且⊥,求直线l的方程.‎ 解 (1)△F1B1B2为等边三角形,‎ 则⇒⇒ 椭圆C的方程为+3y2=1.‎ ‎(2)易知椭圆C的方程为+y2=1,‎ 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意;‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),‎ 由得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0,‎ 由已知得Δ>0,‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ =(x1+1,y1),=(x2+1,y2),‎ 因为⊥,‎ 所以·=0,‎ 即(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-(k2-1)(x1+x2)+k2+1==0,‎ 解得k2=,即k=±,‎ 故直线l的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.‎ ‎1.若直线mx+ny=4与⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是(  )‎ A.至多为1 B.2 C.1 D.0‎ 答案 B 解析 由题意知,>2,即<2,‎ ‎∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2.‎ ‎2.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程,由点差法可知yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,e= =,‎ 故选C.‎ ‎3.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(  )‎ A. B.- C.2 D.-2‎ 答案 B 解析 设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=8,y1+y2=4, 两式相减,得 +=0,‎ 所以=-,‎ 所以k==-.故选B.‎ ‎4.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(  )‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 C 解析 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1.‎ ‎5.(2018·锦州质检)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(  )‎ A.-3 B.- C.-或-3 D.± 答案 B 解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan 45°(x-1),即y=x-1.代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.所以两个交点坐标为A(0,-1),B,所以·=(0,-1)·=-.同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.‎ ‎6.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 答案 D 解析 ∵(+)·=(+)· ‎=·=0,‎ ‎∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.‎ 设|PF1|=m,|PF2|=n,‎ 则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2,‎ ‎∴=mn=1.‎ ‎7.直线y=kx+k+1与椭圆+=1的位置关系是________.‎ 答案 相交 解析 由于直线y=kx+k+1=k(x+1)+1过定点(-1,1),而(-1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.‎ ‎8.椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于____________.‎ 答案 -1‎ 解析 直线y=(x+c)过点F1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,‎ 所以该椭圆的离心率e===-1.‎ ‎9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=________.‎ 答案  解析 设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,且∠AFB=90°,又因为斜边AB的中点为O,所以|OF|=c=5,连接AF1,因为A,B关于原点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以2a=14,a=7,所以离心率e=.‎ ‎10.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点.直线PQ过原点O与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则=________.‎ 答案 2 解析 不妨取直线MN⊥x轴,椭圆+y2=1的左焦点F(-1,0),令x=-1,得y2=,‎ 所以y=±,所以|MN|=,此时|PQ|=2b=2,‎ 则==2.‎ ‎11.(2018·呼和浩特质检)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,E的离心率为,点(0,1)是E上一点.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,且=2,求直线BF2的方程.‎ 解 (1)由题意知,b=1,且e2===,‎ 解得a2=2,所以椭圆E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意知,直线AB的斜率存在且不为0,故可设直线AB的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得(m2+2)y2-2my-1=0,‎ 则y1+y2=,①‎ y1y2=-,②‎ 因为F1(-1,0),‎ 所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1),‎ 由=2可得,-y2=2y1,③‎ 由①②③可得B,‎ 则=或-,‎ 所以直线BF2的方程为 y=x-或y=-x+.‎ ‎12.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若·+·=8,O为坐标原点,求△OCD的面积.‎ 解 (1)过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为,‎ 所以=.‎ 因为椭圆的离心率为,所以=,‎ 又a2=b2+c2,可解得b=,c=1,a=.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)可知F(-1,0),‎ 则直线CD的方程为y=k(x+1).‎ 联立 消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.‎ 设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ 所以x1+x2=-,x1x2=.‎ 又A(-,0),B(,0),‎ 所以·+· ‎=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)‎ ‎=6-2x1x2-2y1y2‎ ‎=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)‎ ‎=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2‎ ‎=6+=8,‎ 解得k=±.‎ 从而x1+x2=-=-,x1x2==0.‎ 所以|x1-x2|= ‎= =,‎ ‎|CD|=|x1-x2|‎ ‎=×=.‎ 而原点O到直线CD的距离为 d===,‎ 所以△OCD的面积为S=|CD|×d=××=.‎ ‎13.正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 设正方形的边长为2m,∵椭圆的焦点在正方形的内部,∴m>c,又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1上,∴+=1>+=e2+,即e4-3e2+1>0,e2<=2,∴0b>0)短轴的端点为P(0,b),Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA,PB的斜率之积等于-,则点P到直线QM的距离为______.‎ 答案 b 解析 设A(x0,y0),则B点坐标为(-x0,-y0),‎ 则·=-,即=-,‎ 由于+=1,则=-,‎ 故-=-,则=,不妨取M(a,0),则直线QM的方程为bx-ay-ab=0,则点P到直线QM的距离为 d===b.‎ ‎15.平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=2,则直线AD的斜率k2等于(  )‎ A. B.- C.- D.-2‎ 答案 C 解析 设AB的中点为G,则由椭圆的对称性知,O为平行四边形ABCD的对角线的交点,则GO∥AD.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得 =-,‎ 整理得=-=-k1=-2,‎ 即=-.又G,‎ 所以kOG==-,即k2=-,故选C.‎ ‎16.过椭圆+=1(a>b>0)上的动点M作圆x2+y2=的两条切线,切点分别为P和Q,直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F,求△EOF面积的最小值.‎ 解 设M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由题意知PQ斜率存在,且不为0,所以x0y0≠0,‎ 则直线MP和MQ的方程分别为x1x+y1y=,x2x+y2y=.因为点M在MP和MQ上,所以有x1x0+y1y0=,x2x0+y2y0=,则P,Q两点的坐标满足方程x0x+y0y=,所以直线PQ的方程为x0x+y0y=,可得E和F,‎ 所以S△EOF=·|OE||OF|=,‎ 因为b2y+a2x=a2b2,b2y+a2x≥2ab|x0y0|,‎ 所以|x0y0|≤,所以S△EOF=≥,‎ 当且仅当b2y=a2x=时取“=”,‎ 故△EOF面积的最小值为.‎

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