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- 2021-06-16 发布
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不等式[学生用书P117]
年份
卷别
具体考查内容及命题位置
2016
甲卷
线性规划求最值·T14
乙卷
线性规划求最值·T16
丙卷
线性规划求最值·T13
2015
Ⅰ卷
线性规划求最值·T15
Ⅱ卷
线性规划求最值·T14
2014
Ⅰ卷
线性规划中已知最值求参数·T11
Ⅱ卷
线性规划求最值·T9
[命题分析]
1.不等式作为高考命题热点内容之一,多以选择题、填空题的形式进行考查,直接考查时主要是简单的线性规划问题,关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用,主要体现在其工具作用上.
2.题目多出现在第8~9或第13~15题的位置上,难度中等,但命题的模式比较固定,只要平时多加练习得分不难.
3.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题,难度较大,多出现在压轴题的位置.
题示参数
真题呈现
考题溯源
题示对比
(2016·高考全国卷乙,T16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
(必修5 P88例5)营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?
题材评说
(1)考题源于教材,是线性规划在实际问题中的具体应用.
(2)考题是“闭区域”下的最大值问题,题源是“开区域”下的最小值问题.
(3)考题是可行解(x,y)(x∈N,y∈N)(由单位件约定)的最优解,题源是可行解(x,y)(x≥0,y≥0)(由单位kg约定)的最优解问题
1.(必修5 P100习题3.4A组T2改编)一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为( )
A. B.
C. D.L2
A [解析] 设菜园的长为x,宽为y,
则x+2y=L,面积S=xy,
因为x+2y≥2.
所以xy≤=.
当且仅当x=2y=,即x=,y=时,
Smax=,故选A.
2.(必修5 P91练习T1改编)实数x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍,则a的值是( )
A. B.
C. D.
B [解析] 在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点B(1,1)时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可行域中的点A(a,a)时有最小值3a,由3=4×3a,得a=.
3.(必修5 P93习题3.3B组T1改编)设实数x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则+的最小值为( )
A.2 B.3
C.4 D.6
C [解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即2a+3b=6,则+=+=2++≥4,当且仅当=,即,时取等号.故选C.
4.(必修1 P82复习参考题A组T8改编)函数f(x)=loga(a>0且a≠1)的定义域为________.
[解析] 由题意得>0,即<0,
所以-1<x<1.
所以f(x)的定义域为(-1,1).
[答案] (-1,1)
5.(必修5 P93习题3.3A组T4改编)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
家电名称
空调器
彩电
冰箱
工时
产值/千元
4
3
2
求最高产值是多少千元.
[解] 设每周生产空调器x台、彩电y台,则生产冰箱120-x-y台,产值为z.
目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,
所以,题目中包含的限制条件为
即
可行域如图.
解方程组
得点M的坐标为(10,90),所以zmax=2×10+90+240=350.