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- 2021-06-16 发布
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13.4 直线、平面垂直的判定与性质
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
线面垂直的判定与性质
1.线面垂直的证明
2.线面垂直的性质的应用
★☆☆
面面垂直的判定与性质
1.面面垂直的证明
2.面面垂直的性质的应用
2014江苏,16
面面垂直的判定
线面平行的判定
★★★
2016江苏,16
面面垂直的判定
线面平行的判定
分析解读 空间的垂直问题是江苏高考的热点内容,几乎每年都考,主要考查面面垂直的判定与性质,偶尔涉及线面垂直的判定与性质,一般与平行关系综合在一起考查,一问线面,一问面面,在解答题的前两题中出现,属于简单题.在复习中,要注重表述的规范,逻辑的严谨以及定理、公理、定义使用的完备性,这是最近几年高考阅卷的重点.
破考点
【考点集训】
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
1.(2018江苏海安中学检测)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,给出下列命题:
①若l⊥α,则l与α相交;
②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;
③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;
④若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n.
其中正确命题的序号为 .
答案 ①③④
2.(2018江苏苏州木渎中学期初)若α、 β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;
②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;
③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;
④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
答案 ②④
3.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D为BC的中点.求证:AD⊥平面BB1C1C.
证明 ∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴CC1⊥底面ABC,∴CC1⊥AD.
∵AB=AC,且D为BC中点,∴AD⊥BC,
∵BC∩CC1=C,所以AD⊥平面BB1C1C.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
1.(2017江苏无锡辅仁中学质检)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.
(1)求证:BD⊥OE;
(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.
证明 (1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.
(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于点O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.
2.(2018江苏海门中学检测)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.证明:平面AEC⊥平面BED.
证明 因为四边形ABCD为菱形,
所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以AC⊥BE.又BE∩BD=B,
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.
炼技法
【方法集训】
方法一 证明线面垂直的方法
1.“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的 条件.
答案 必要不充分
2.(2018江苏通州中学期中)如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=13DB,点C为圆O上一点,且BC=3AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.
求证:PA⊥CD.
证明 因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,
在Rt△ABC中,由3AC=BC得,
∠ABC=30°,设AD=1,
由3AD=DB得,DB=3,则AB=4,则BC=23,
在△BDC中,由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos 30°=3,所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AD.
因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,
所以PD⊥CD,由PD∩AD=D得,CD⊥平面PAB,
又PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.
方法二 证明面面垂直的方法
1.(2018江苏如皋中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC.
证明 (1)因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.
又AC∩PC=C,
所以AB⊥平面PAC.
又AB⊂平面PAB,
所以平面PAB⊥平面PAC.
2.如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC,FD,形成如图所示的多面体,且AC=6.证明:平面ABEF⊥平面BCDE.
证明 在正六边形ABCDEF中,连接AC,BE,设AC与BE的交点为G,易知AC⊥BE,且AG=CG=3,
在多面体中,由AC=6,知AG2+CG2=AC2,故AG⊥GC,
又GC∩BE=G,GC,BE⊂平面BCDE,
故AG⊥平面BCDE,
又AG⊂平面ABEF,
所以平面ABEF⊥平面BCDE.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2016江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明 (1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.
在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,
所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.
又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1⊂平面A1B1C1,
所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
评析本题考查点、线、面的位置关系.
(1)证明线面平行,可证明该直线平行于平面内的一条直线;
(2)证明面面垂直,只需证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面即可.
2.(2014江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明 (1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=12PA=3,EF=12BC=4.
又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.
又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,
所以DE⊥平面ABC.
又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC.
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 线面垂直的判定与性质
1.(2016浙江理改编,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是 .
①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n.
答案 ③
2.(2018课标全国Ⅱ文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
解析 (1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,
所以OP⊥AC,且OP=23.
连接OB,因为AB=BC=22AC,
所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.
由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,∠ACB=45°.
所以OM=253,CH=OC·MC·sin∠ACBOM=455.
所以点C到平面POM的距离为455.
解题关键 认真分析三棱锥各侧面和底面三角形的特殊性,利用线面垂直的判定方法及等积法求解是关键.
3.(2018浙江,19,15分)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.
(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;
(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.
解析 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.
(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB得AB1=A1B1=22,
所以A1B12+AB12=AA12,故AB1⊥A1B1.
由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC得B1C1=5,
由AB=BC=2,∠ABC=120°得AC=23,
由CC1⊥AC,得AC1=13,
所以AB12+B1C12=AC12,故AB1⊥B1C1.
因此AB1⊥平面A1B1C1.
(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.
由AB1⊥平面A1B1C1得平面A1B1C1⊥平面ABB1,
由C1D⊥A1B1得C1D⊥平面ABB1,
所以∠C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.
由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21得cos∠C1A1B1=67,
sin∠C1A1B1=17,所以C1D=3,
故sin∠C1AD=C1DAC1=3913.
因此,直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.
4.(2016课标全国Ⅰ,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明:G是AB的中点;
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
解析 (1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.(2分)
又PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(4分)
(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.(5分)
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,
又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,又PA∩PC=P,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.(7分)
连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.(9分)
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=23PG,DE=13PC.
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,(11分)
所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43.(12分)
评析本题考查了线面垂直的判定和性质;考查了锥体的体积的计算;考查了空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.
5.(2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.
(1)证明:AC⊥HD';
(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22,求五棱锥D'-ABCFE的体积.
解析 (1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC∥EF.(2分)
由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)
(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=14.(5分)
由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4.
所以OH=1,D'H=DH=3.
于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.
由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',于是AC⊥OD'.
又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以OD'⊥平面ABC.(8分)
又由EFAC=DHDO得EF=92.
五边形ABCFE的面积S=12×6×8-12×92×3=694.(10分)
所以五棱锥D'-ABCFE的体积V=13×694×22=2322.(12分)
评析本题考查了线线垂直的判定、线面垂直的判定和性质,考查了锥体的体积的计算,考查了空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.
6.(2014辽宁,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
附:锥体的体积公式V=13Sh,其中S为底面面积,h为高.
解析 (1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.
因此AC=DC.
又G为AD的中点,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.
又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,
由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中,AO=AB·sin 60°=3,所以VD-BCG=VG-BCD=13·S△DBC·h=13×12BD·BC·sin 120°·32=12.
评析本题考查了线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质及几何体的体积的求法,考查了空间想象能力.
7.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.
(1)证明:AB⊥平面PFE;
(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.
解析 (1)证明:由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.
因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.
(2)设BC=x,则在直角△ABC中,
AB=AC2-BC2=36-x2,
从而S△ABC=12AB·BC=12x36-x2.
由EF∥BC知,AFAB=AEAC=23,得△AFE∽△ABC,
故S△AFES△ABC=232=49,即S△AFE=49S△ABC.
由AD=12AE得S△AFD=12S△AFE=12×49S△ABC=29S△ABC
=19x36-x2,
从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=S△ABC-S△AFD
=12x36-x2-19x36-x2
=718x36-x2.
由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角△PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.
体积VP-DFBC=13·S四边形DFBC·PE=13×718x36-x2·23=7,
故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,
由于x>0,可得x=3或x=33,
所以,BC=3或BC=33.
评析本题考查了线面垂直的判定,棱锥体积的计算;考查了推理论证能力及空间想象能力;体现了函数与方程的思想.
考点二 面面垂直的判定与性质
1.(2018课标全国Ⅰ文,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.
解析 (1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.
又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC,
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.
又BP=DQ=23DA,所以BP=22.
作QE⊥AC,垂足为E,则QE