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- 2021-06-16 发布
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第四节 直线、平面平行的判定及其性质
[考纲传真] (教师用书独具)1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
(对应学生用书第111页)
[基础知识填充]
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判
定
定
理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面
a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α
性
质
定
理
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定
定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b∥β⇒α∥β
性质
定理
两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β,a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
3.与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(2)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.( )
(4)若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面平行.( )
(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.下列命题中,正确的是( )
A.若a∥b,b⊂α,则a∥α
B.若a∥α,b⊂α,则a∥b
C.若a∥α,b∥α,则a∥b
D.若a∥b,b∥α,a⊄α,则a∥α
D [A中还有可能a⊂α,B中还有可能a与b异面,C中还有可能a与b相交或异面,
只有选项D正确.]
3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β ”是“α∥β ”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
B [当m∥β时,过m的平面α与β可能平行也可能相交,因而m∥β⇒/α∥β;当α∥β时,α内任一直线与β平行,因为m⊂α,所以m∥β.综上知,“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件.]
4.三棱柱ABCA1B1C1中,过棱A1C1,B1C1,BC,AC的中点E,F,G,H的平面与平面________平行.
A1B1BA [
如图所示,连接各中点后,易知平面EFGH与平面A1B1BA平行.]
5.(教材改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是________.
平行 [如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线,
∴EF∥BD1,
又EF⊂平面ACE,
BD1⊂平面ACE,
∴BD1∥平面ACE.]
(对应学生用书第112页)
与线面平行相关命题的真假判断
(1)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
(1)D (2)A [(1)A项,α,β可能相交,故错误;
B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误;
C项,若m⊂α,α∩β=n,m∥n,则m∥β,故错误;
D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有m∥n,∴原命题正确,故D项正确.
(2)A项,作如图①所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD与平面MNQ相交,
∴直线AB与平面MNQ相交.
B项,作如图②所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
C项,作如图③所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,
∴AB∥MQ.
又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.
D项,作如图④所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,
∴AB∥NQ.
又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,∴AB∥平面MNQ.故选A.]
[规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
[跟踪训练] (2017·唐山模拟)若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是( )
【导学号:97190236】
A.若m∥α,m∥n,则n∥α
B.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
C.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥n
D.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β
D [在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A错误.在B中,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,
m∥α,n∥m,n⊄β,则由线面平行的判定定理得n∥β,故D正确.]
直线与平面平行的判定与性质
◎角度1 直线与平面平行的判定
(2016·全国卷Ⅲ)如图741,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
图741
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体NBCM的体积.
[解] (1)证明:由已知得AM=AD=2.
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,
TN=BC=2.
又AD∥BC,故TNAM,
所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图,取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体NBCM的体积VNBCM=×S△BCM×=.
◎角度2 线面平行性质定理的应用
如图742所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.求证:四边形EFGH是矩形.
图742
[证明] ∵CD∥平面EFGH,
而平面EFGH∩平面BCD=EF,
∴CD∥EF.
同理HG∥CD,∴EF∥HG.
同理HE∥GF,
∴四边形EFGH为平行四边形,
∴CD∥EF,HE∥AB,
∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形.
[规律方法] 1.证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点).
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
2.利用判定定理判定线面平行,注意三条件缺一不可,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线.
[跟踪训练] 如图743所示,斜三棱柱ABCA1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1的中点.
图743
(1)证明:AD1∥平面BDC1;
(2)证明:BD∥平面AB1D1.
[证明] (1)∵D1,D分别为A1C1,AC的中点,四边形ACC1A1为平行四边形,
∴C1D1DA,∴四边形ADC1D1为平行四边形,∴AD1∥C1D,又AD1⊄平面BDC1,C1D⊂平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.
(2)连接D1D,
∵BB1∥平面ACC1A1,BB1⊂平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,
∴BB1∥D1D,
又∵D1,D分别为A1C1,AC的中点,
∴BB1=DD1,
故四边形BDD1B1为平行四边形,∴BD∥B1D1,又BD⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.
平面与平面平行的判定与性质
如图744所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
图744
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
[证明] (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
∵A1GEB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,则A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
在本例条件下,若点D为BC1的中点,求证:HD∥平面A1B1BA.
[证明] 如图所示,连接HD,A1B,
∵D为BC1的中点,H为A1C1的中点,
∴HD∥A1B.
又HD⊄平面A1B1BA,
A1B⊂平面A1B1BA,
∴HD∥平面A1B1BA.
[规律方法] 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的定义.
(2)利用面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”.
(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行”.
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
[跟踪训练] 在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点.求证:平面MNP∥平面A1BD. 【导学号:97190237】
[证明] 如图,连接B1D1、B1C.
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD,∴PN∥BD.
又PN⊄平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.
同理,MN∥平面A1BD,又PN∩MN=N,
∴平面PMN∥平面A1BD.