2020届二轮复习第二课时等差数列的性质及简单应用课件（23张）（全国通用） 23页

课标要求 : 1. 能根据等差数列的定义与通项公式 , 推导出等差数列的重要性质 .2. 能够运用等差数列的通项公式和性质解决等差数列中的计算问题 .3. 能够运用学过的等差数列知识解决一些实际应用问题 . 自主学习 知识探究 若数列{a n }是公差为d的等差数列,则有下列性质: 1.d>0,{a n }是递增数列;d<0,{a n }是递减数列;d=0,{a n }是常数列. 3.a n =a m +(n-m)d(m,n∈ N * ). 4. 若 m+n=p+q, 则 a m +a n =a p +a q (m,n,p,q∈ N * ). 6. 若 {a n } 是有穷等差数列 , 则与首末两项等距离的两项之和都相等 , 且等于首末两项之和 , 即 a 1 +a n =a 2 +a n-1 =…=a i +a n-i+1 =…. 7. 数列 {λa n +b}(λ,b 是常数 ) 是公差为 λd 的等差数列 . 因为 λa n +b=λ[a 1 +(n-1)d]+b=(λa 1 +b)+(n-1)λd, 所以公差为 λd. 8. 下标成等差数列且公差为 m 的项 a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k,m∈ N * ) 组成公差为 md 的等差数列 . 9. 若数列 {b n } 为等差数列 , 则 {a n ±b n },{ka n +b n }(k 为非零常数 ) 也是等差数列 . 10. 项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列 . 例如 :a 1 ,a 3 ,a 5 ,… 构成等差数列 , 再比如 a 1 +a 2 +a 3 ,a 4 +a 5 +a 6 ,a 7 +a 8 +a 9 ,… 仍构成等差数列 . 【知识拓展 】 若m+n=p+q,则a m +a n =a p +a q (m,n,p,q∈ N * )不可以推广为 “ 若m,n∈ N * ,则a m +a n =a m+n ” .但可以推广到三项的情况,即 “ m+n+t=p+q+s,且m,n,t,p,q,s∈ N * ,则a m +a n +a t =a p +a q +a s ” . 自我检测 1. 若 {a n } 是等差数列 , 下列数列中仍为等差数列的有 ( 　 　 ) ①{|a n |} 　② {a n+1 -a n } 　③ {pa n +q}(p,q 为常数 ) 　④ {2a n +n} (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2. 已知等差数列 {a n } 中 ,a 3 =1,a 7 =-9, 则 a 5 等于 ( 　 　 ) (A)-4 (B)4 (C)-8 (D)8 C A 解析: 由a 3 +a 7 =2a 5 =1-9=-8得a 5 =-4.故选A. 3. 在等差数列 {a n } 中 , 已知 a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =450, 则 a 2 +a 8 = 　　　　 .   解析: 因为a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =5a 5 =450, 所以a 5 =90, a 2 +a 8 =2a 5 =2×90=180. 答案: 180 题型一 等差数列性质的应用 课堂探究 【 例 1 】 等差数列 {a n } 中 : (1) 若 a 7 =m,a 14 =n, 则 a 21 = 　　　　 ;   解析: (1)因为7+21=14+14, 所以a 7 +a 21 =2a 14 , 所以a 21 =2a 14 -a 7 =2n-m. 答案 : (1)2n-m (2)若a 1 +a 3 +a 5 =-1,则a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 = 　　　　 ;   (3) 若 a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =34,a 2 · a 5 =52, 且 a 4 >a 2 , 则 a 5 = 　　　　 .   答案 : (3)13 方法技巧 求解等差数列有关计算问题的常用方法 : 一是基本量方法 , 即建立关于 a 1 和 d 的方程组求出 a 1 和 d 再解决问题 ; 二是运用等差数列的性质 , 若 m+n=p+q=2k, 且 m,n,p,q,k∈ N * , 则 a m +a n =a p +a q =2a k . 即时训练 1 - 1:(1)如果等差数列{a n }中,a 3 +a 4 +a 5 =12,那么a 1 +a 2 + … +a 7 等于(　　) (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 解析: (1)因为a 3 +a 4 +a 5 =12, 所以3a 4 =12,则a 4 =4, 又a 1 +a 7 =a 2 +a 6 =a 3 +a 5 =2a 4 , 故a 1 +a 2 + … +a 7 =7a 4 =28.故选C. (2) 已知 {a n },{b n } 是两个等差数列 , 其中 a 1 =3,b 1 =-3, 且 a 20 -b 20 =6, 那么 a 10 -b 10 的值为 ( 　　 ) (A)-6 (B)6 (C)0 (D)10 解析 : (2) 由于 {a n },{b n } 都是等差数列 , 所以 {a n -b n } 也是等差数列 , 而 a 1 -b 1 =6,a 20 -b 20 =6, 所以 {a n -b n } 是常数列 , 故 a 10 -b 10 =6. 故选 B. 题型二 等差数列的综合问题 (2)试问a 1 a 2 是不是数列{a n }中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. 方法技巧 解决数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式,得到一个以首项a 1 和公差d为未知数的方程或不等式. (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 即时训练 2 - 1: 已知数列 {a n } 是等差数列 , 且 a 1 +a 2 +a 3 =12,a 8 =16. (1) 求数列 {a n } 的通项公式 ; 解 : (1) 设等差数列的公差为 d. 因为 a 1 +a 2 +a 3 =12, 所以 a 2 =4, 因为 a 8 =a 2 +(8-2)d, 所以 16=4+6d, 所以 d=2, 所以 a n =a 2 +(n-2)d=4+(n-2)×2=2n. 故 a n =2n. (2) 若从数列 {a n } 中 , 依次取出第 2 项 , 第 4 项 , 第 6 项 ,…, 第 2n 项 , 按原来顺序组成一个新数列 {b n }, 试求出数列 {b n } 的通项公式 . 解 : (2)a 2 =4,a 4 =8,a 6 =12,a 8 =16, … ,a 2n =2×2n=4n. 当 n>1 时 ,a 2n -a 2(n-1) =4n-4(n-1)=4. 所以数列 {b n } 是以 4 为首项 ,4 为公差的等差数列 . 所以 b n =b 1 +(n-1)d=4+4(n-1)=4n. 故b n =4n. 题型三 等差数列的实际应用 【 例 3】 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查 , 提供两个不同的信息图如图所示 . 甲调查表明 : 从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产 2 万只鸡 . 乙调查表明 : 由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个 . 请根据提供的信息说明 , 求 : (1) 第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数 ; (2) 到第 6 年这个县的养鸡业规模比第 1 年是扩大了还是缩小了 ? 请说明理由 ; (3) 哪一年的规模最大 ? 请说明理由 . (2) 因为 c 6 =a 6 b 6 =2×10=20