【数学】四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第二次月考（文） 10页

‎ 四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期第二次月考（文）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知复数，则 ‎ A． B．3 C．1 D．‎ ‎3．命题“”的否定是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．等差数列的前项和为，已知，，则的值等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则＝‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数为奇函数的充要条件是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知为直线，平面，则下列说法正确的是 ‎①，则 ②，则 ‎③，则 ④，则 A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④‎ ‎9．函数在区间上的最大值与最小值的差记为，若 恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎10．已知是上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知三棱锥中，，，，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．双曲线的右焦点为，为双曲线上的一点，且位于第一象限，直线分别交于曲线于两点，若为正三角形，则直线的斜率等于 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设函数，则____________.‎ ‎14．若，满足约束条件则当取最小值时，的值为__________．‎ ‎15.若，则（ _________．‎ ‎16．如图所示，在平面四边形中，，，，‎ ‎，则四边形的面积的最大值是 .‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.‎ 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 ‎100‎ ‎40‎ ‎10‎ 科普类图书 ‎30‎ ‎200‎ ‎30‎ 其他图书 ‎20‎ ‎10‎ ‎60‎ ‎（I）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率；‎ ‎（II）根据统计数据估计图书分类错误的概率.‎ ‎18．（12分）在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，的面积为，求.‎ ‎19．(12分)如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，，是棱的中点.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）求三棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）已知函数 ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）证明：.‎ ‎21．（12分）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（I）求的方程；‎ ‎（II）若直线与曲线交于两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时总有？若存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（I）若与曲线没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（II）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数,‎ ‎(I)解不等式 ‎(II)若对于,有,求证:.‎ 参考答案 ‎1．A 2．A 3．C 4．C 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B ‎ ‎11．C 12．D ‎13．8 14．1 15．. 16．.‎ ‎17.解：（1）由题意可知，文学类图书共有本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率．‎ ‎（2）图书分类错误的共有本，因为图书共有500本，‎ 所以图书分类错误的概率．‎ ‎18．（1）∵ ∴由正弦定理得：‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎（2）由得：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎19．（1）证明：∵平面∴四边形是矩形 ‎∵为中点，且 ‎∴∵，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴与相似 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴平面 ‎∵平面，∴‎ ‎∴平面，∴‎ ‎（2）在中，，，‎ 所以．由（1）知平面 由于四边形是矩形，所以．‎ ‎∴．‎ ‎20．（1）解：，‎ ‎①若时，在上单调递减；②若时，当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 综上，若时， 在上单调递减；‎ 若时，在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎（2）证明：要证，只需证，‎ 由（1）可知当时，，即，‎ 当时，上式两边取以为底的对数，可得，‎ 用代替可得，又可得，所以，‎ ‎，‎ 即原不等式成立.‎ ‎21．解：（1）得圆的圆心为，半径；圆的圆心，半径.设圆的圆心为，半径为.因为圆与圆外切并与圆内切，所以 由椭圆的定义可知，曲线是以为左右焦点，长半轴长为2，短半轴为的椭圆（左顶点除外），其方程为 ‎（2）假设存在满足.设 联立得，由韦达定理有 ‎①，其中恒成立，‎ 由（显然的斜率存在），故，即②，‎ 由两点在直线上，故代入②得：‎ 即有 ‎③‎ 将①代入③即有：④，要使得④与的取值无关，当且仅当“”时成立，综上所述存在，使得当变化时，总有 ‎22．解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）‎ 所以曲线的普通方程为，‎ 由消去得，，‎ 所以，解得，故的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，‎ 故曲线上的点到的距离，‎ 故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.‎ ‎23．解：(1)不等式f(x)＜x+1,等价于|2x﹣1|＜x+1,即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1,‎ 求得0＜x＜2,故不等式f(x)＜x+1的解集为(0,2).‎ ‎(2),‎ 所以f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2+＜1.‎