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- 2021-06-16 发布
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§13.2 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
最新考纲
考情考向分析
1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R).
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中、低档.
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
(-∞,-a)∪(a,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
R
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;
②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
概念方法微思考
1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么?
提示 当a,b不共线时,|a|+|b|>|a+b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.
2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时,需把数轴分成几段?
提示 一般地,n个绝对值对应n个零点,n个零点应把数轴分成(n+1)段.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( × )
(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( √ )
(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × )
(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × )
(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )
题组二 教材改编
2.不等式3≤|5-2x|<9的解集为( )
A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]
C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题意得
即
解得不等式的解集为(-2,1]∪ [4,7).
3.求不等式|x-1|-|x-5|<2的解集.
解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,
∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1;
②当11时,(*)式化为x2+x-4≤0,
从而10.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,
f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
题型二 利用绝对值不等式求最值
例2 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值;
(2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.
解 (1)∵x,y∈R,
∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,
当且仅当0≤x≤1时等号成立,
∴|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,
当且仅当-1≤y≤1时等号成立,
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3,
当且仅当0≤x≤1,-1≤y≤1同时成立时等号成立.
∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
(2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.
思维升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种
(1)利用绝对值的几何意义.
(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||.
(3)利用零点分区间法.
跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数.
(1)求的最小值;
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.
解 (1)∵≥==4,
当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时等号成立,
∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,
故|2+x|+|2-x|≤min.
由(1)可知,的最小值为4,
∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.
解不等式得-2≤x≤2,
故实数x的取值范围为[-2,2].
题型三 绝对值不等式的综合应用
例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解 (1)f(x)=
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2,
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m,得
m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x
≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
=-2+≤,
当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范围为.
思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.
(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.
跟踪训练3 设函数f(x)=x+|x-a|.
(1)当a=2 019时,求函数f(x)的值域;
(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.
解 (1)由题意得,当a=2 019时,
f(x)=
因为f(x)在[2 019,+∞)上单调递增,
所以f(x)的值域为[2 019,+∞).
(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.
而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,
所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3.
即a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).
1.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.
解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,
所以|3a-3b|≤3,≤,
所以|4a-3b+2|=
≤|3a-3b|++≤3++=6,
即|4a-3b+2|的最大值为6,
所以m≥|4a-3b+2|max=6.
即实数m的取值范围为[6,+∞).
2.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a.
(1)当a=5时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3],求a的取值范围.
解 (1)当a=5时,不等式f(x)≥g(x)等价于|x+1|-|x-2|≥x2-x-5,①
当x<-1时,①式化为x2-x-2≤0,无解;当-1≤x≤2时,①式化为x2-3x-4≤0,得-1≤x≤2;
当x>2时,①式化为x2-x-8≤0,得2x2+|x-1|-|x+1|,
由于x2+|x-1|-|x+1|=
所以当x=1时,x2+|x-1|-|x+1|的最小值为-1.
所以实数a的取值范围为(-1,+∞).
5.已知函数f(x)=|x-2|-|2x+1|.
(1)解不等式f(x)≤2;
(2)若∃b∈R,不等式|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立,求a的取值范围.
解 (1)f(x)=
原不等式等价于
或或
解得x≤-1或-≤x<2或x≥2,
综上所述,不等式的解集是.
(2)∃b∈R,|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于
(|a+b|-|a-b|)max≥f(x)max.
因为|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
所以|a+b|-|a-b|的最大值为2|a|;
当x≤-时,f(x)≤;
当-.
综上可得不等式f(x)≤x+2的解集为R.
(2)不等式f(x)≤|x|(|a-2|+|a+1|)等价于≤(|a-2|+|a+1|),
因为=≤=3,当且仅当≤0时取等号,
因为≤(|a-2|+|a+1|),
所以|a-2|+|a+1|≥6,解得a≤-或a≥,
故实数a的取值范围为∪.