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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版13-2-1绝对值不等式学案

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‎§13.2 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R);|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R).‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:‎ ‎|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.‎ 本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.在高考中主要以解答题的形式考查,难度为中、低档.‎ ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪(a,+∞)‎ ‎(-∞,0)∪(0,+∞)‎ R ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ 概念方法微思考 ‎1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么?‎ 提示 当a,b不共线时,|a|+|b|>|a+b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.‎ ‎2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时,需把数轴分成几段?‎ 提示 一般地,n个绝对值对应n个零点,n个零点应把数轴分成(n+1)段.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R,则c≤0.( × )‎ ‎(2)不等式|x-1|+|x+2|<2的解集为∅.( √ )‎ ‎(3)对|a+b|≥|a|-|b|当且仅当a>b>0时等号成立.( × )‎ ‎(4)对|a|-|b|≤|a-b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( × )‎ ‎(5)对|a-b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.不等式3≤|5-2x|<9的解集为(  )‎ A.[-2,1)∪[4,7) B.(-2,1]∪(4,7]‎ C.(-2,-1]∪[4,7) D.(-2,1]∪[4,7)‎ 答案 D 解析 由题意得 即 解得不等式的解集为(-2,1]∪ [4,7).‎ ‎3.求不等式|x-1|-|x-5|<2的解集.‎ 解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,‎ ‎∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1;‎ ‎②当11时,(*)式化为x2+x-4≤0,‎ 从而10.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,‎ f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ 题型二 利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值;‎ ‎(2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.‎ 解 (1)∵x,y∈R,‎ ‎∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,‎ 当且仅当0≤x≤1时等号成立,‎ ‎∴|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,‎ 当且仅当-1≤y≤1时等号成立,‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3,‎ 当且仅当0≤x≤1,-1≤y≤1同时成立时等号成立.‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.‎ 思维升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义.‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥||a|-|b||.‎ ‎(3)利用零点分区间法.‎ 跟踪训练2 已知a和b是任意非零实数.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解 (1)∵≥==4,‎ 当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时等号成立,‎ ‎∴的最小值为4.‎ ‎(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,即|2+x|+|2-x|≤恒成立,‎ 故|2+x|+|2-x|≤min.‎ 由(1)可知,的最小值为4,‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.‎ 解不等式得-2≤x≤2,‎ 故实数x的取值范围为[-2,2].‎ 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3 (2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.‎ 解 (1)f(x)= 当x<-1时,f(x)≥1无解;‎ 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;‎ 当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2,‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)由f(x)≥x2-x+m,得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.‎ 而|x+1|-|x-2|-x2+x ‎≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|‎ ‎=-2+≤,‎ 当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.‎ 故m的取值范围为.‎ 思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值,化为分段函数来解决.‎ ‎(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.‎ 跟踪训练3 设函数f(x)=x+|x-a|.‎ ‎(1)当a=2 019时,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.‎ 解 (1)由题意得,当a=2 019时,‎ f(x)= 因为f(x)在[2 019,+∞)上单调递增,‎ 所以f(x)的值域为[2 019,+∞).‎ ‎(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立,知|x+1|+|x-a|>2恒成立,即(|x+1|+|x-a|)min>2.‎ 而|x+1|+|x-a|≥|(x+1)-(x-a)|=|1+a|,‎ 所以|1+a|>2,解得a>1或a<-3.‎ 即a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞).‎ ‎1.对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.‎ 解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,‎ 所以|3a-3b|≤3,≤,‎ 所以|4a-3b+2|= ‎≤|3a-3b|++≤3++=6,‎ 即|4a-3b+2|的最大值为6,‎ 所以m≥|4a-3b+2|max=6.‎ 即实数m的取值范围为[6,+∞).‎ ‎2.已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a.‎ ‎(1)当a=5时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)解集包含[2,3],求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=5时,不等式f(x)≥g(x)等价于|x+1|-|x-2|≥x2-x-5,①‎ 当x<-1时,①式化为x2-x-2≤0,无解;当-1≤x≤2时,①式化为x2-3x-4≤0,得-1≤x≤2;‎ 当x>2时,①式化为x2-x-8≤0,得2x2+|x-1|-|x+1|,‎ 由于x2+|x-1|-|x+1|= 所以当x=1时,x2+|x-1|-|x+1|的最小值为-1.‎ 所以实数a的取值范围为(-1,+∞).‎ ‎5.已知函数f(x)=|x-2|-|2x+1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤2;‎ ‎(2)若∃b∈R,不等式|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)f(x)= 原不等式等价于 或或 解得x≤-1或-≤x<2或x≥2,‎ 综上所述,不等式的解集是.‎ ‎(2)∃b∈R,|a+b|-|a-b|≥f(x)对∀x∈R恒成立等价于 ‎(|a+b|-|a-b|)max≥f(x)max.‎ 因为|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=2|a|,‎ 所以|a+b|-|a-b|的最大值为2|a|;‎ 当x≤-时,f(x)≤;‎ 当-.‎ 综上可得不等式f(x)≤x+2的解集为R.‎ ‎(2)不等式f(x)≤|x|(|a-2|+|a+1|)等价于≤(|a-2|+|a+1|),‎ 因为=≤=3,当且仅当≤0时取等号,‎ 因为≤(|a-2|+|a+1|),‎ 所以|a-2|+|a+1|≥6,解得a≤-或a≥,‎ 故实数a的取值范围为∪.‎

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