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- 2021-06-16 发布
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宁夏银川市第六中学2020届高三第五次模拟考试
数学试卷(理)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,.若,则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位,复数满足,则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.平面向量与的夹角为,=(1,0),||=1,则|+2|=( )
A.2 B. C.3 D.7
4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
5.若,则( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.2
6.华人数学家张益唐证明了孪生素数(注:素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式.孪生素
数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷多个素数使
得是素数,素数对称为孪生素数,从20以内的素数中任取两个,其中能构
成孪生素数的概率为( )
A. B. C. D.
7.运行如图所示的程序框图,若输入的a的值为2时,输出的S的值为,则判断框中
可以填( )
A.k<3? B.k<4?
C.k<5? D.k<6?
8.在相距2km的、两点处测量目标,若,则、
两点之间的距离是( )
A.km B.
C. D.3km
9.数列的首项为3,为等差数列且,若,,则( )
A.11 B.8 C. 3 D.0
10.设是奇函数且满足,当时,,
则( )
A. B. C. D.
11.已知F1,F2是椭圆C1:与双曲线C2的公共焦点,A是C1,C2在第二象限
的公共点.若,则C2的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在的偶函数,且.当 时,
,若方程有300个不同的实数根,则实数m的取
值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为 .
14.已知曲线,则曲线上的点到直线的最短距离是_________.
15.已知等比数列中,各项都是正数,前项和为,且成等差数列, 若
,则_________.
16.已知三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线AD与底面BCD所成角
为,则此三棱锥外接球的表面积为_____________.
三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分)
17.(12分)
已知函数()的图像过点.
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间.
18.(12分)
空气质量指数PM2.5(单位:μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:
日均浓度
空气质量级别
一级
二级
三级
四级
五级
六级
空气质量类型
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲、乙两城市2020年5月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测,获得PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示:
(1)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好?并简要说明理由.
(2)在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率;
(3)在乙城市15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良的天数,求X的分布列及数学期望.
19.(12分)
如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,
,AB=2, AD=CD=1,E是PB的中点。
(1)求证:平面平面PBC;
(2)若二面角的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
20.(12分)
已知抛物线的焦点为F,直线,直线l与C的交点为A,B,同时直线,直线m与C的交点为C、D,与y轴交于点P.
(1)求抛物线E的方程;
(2)若求|CD|的长.
21.(12分)
已知函数.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的x∈[0, +∞)成立,求实数a的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线C,的参数方程为,(θ为参数)。以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若过点F(1,0)的直线l与C1交于A、B两点,与C2交于M、N两点,求:的取值范围.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知f(x)=|x-1|+1,F(x)=。
(1)解不等式f(x)≤2x+3;
(2)若方程F(x)=a有三个不同的解,求实数a的取值范围.
参考答案
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
A
D
C
A
C
D
B
A
二.填空题:13. 3 14. 15.15 16.
17.(12分)
解:(1), ………………………………3分
∵,∴.…………………………………6分
(2)…8分
, …………………10分
∴当时,
即在区间上单调递增. ……………12分
18. (12分)
解:(1)由茎叶图可知:甲城市空气质量一级和二级共有10天,而乙城市空气质量一级和二级只有5天,因此甲城市空气质量总体较好.……………4分
(2)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,
乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天,任取1天,空气质量类别为优或良的概率为,……………6分
在15天内任取1天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为.8分
(3)的取值为0,1,2,
,,.……10分
的分布列为:
0
1
2
数学期望.………………12分
19 . ( 满分12分)
(1)证明:平面ABCD,平面ABCD,,……2分
,,
,
又,平面PBC,……………4分
∵平面EAC,平面平面PBC ……………6分
(2)解:以C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0)。
设P(0,0,a)(a>0),则E(,,),
,,,
取=(1,-1,0)……………8分
则,为面PAC的法向量。
设为面EAC的法向量,则,
即,取,,,
则,
依题意,,则a=1。……………10分
于是,
设直线PA与平面EAC所成角为,则,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为。……………12分
20.(12分))
解:(1)得:.…………………………2分
设,,
由求根公式得:,,.
则.…………………………6分
⑵设直线,
得:.
,…………………………6分
设,,
可知,,, ,
.
解之得:或-8.…………………………8分
,…………………………10分
当时,;当时,.…………………………12分
21.(满分12分)