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- 2021-06-16 发布
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知识拓展:数列放缩技巧
一、选择题
1.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( A )
(A)b4+b8>b5+b7 (B)b5+b7>b4+b8
(C)b4+b7>b5+b8 (D)b4+b5>b7+b8
解析:(b4+b8)-(b5+b7)=(b4-b5)+(b8-b7)=b4(1-q)+b7(q-1)=(1-q)(b4-
b7),
因为bn>0,q>1,
所以{bn}为递增数列,
所以b40,
所以(b4+b8)-(b5+b7)>0,
所以b4+b8>b5+b7.故A正确.
2.若a,b,c成等比数列,则关于x的方程ax2+bx+c=0( C )
(A)必有两个不等实根
(B)必有两个相等实根
(C)必无实根
(D)以上三种情况均有可能
解析:因为a,b,c成等比数列,
所以b2=ac>0,
又Δ=b2-4ac=-3ac<0,
所以方程ax2+bx+c=0无实数根.故选C.
3.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么方程x2+(a4+a6)x+10=0的根的情况是( A )
(A)没有实根 (B)两个相等实根
(C)两个不等实根 (D)无法判断
解析:由a2+a5+a8=9得a5=3,所以a4+a6=6,方程转化为x2+6x+10=0,
因为Δ<0,所以方程没有实根.
4.已知{an}为等差数列,{bn}为正项等比数列,公比q≠1,若a1=b1,a11=b11,则( B )
(A)a6=b6 (B)a6>b6
(C)a6b6.
5.给出以下命题,其中正确的命题的个数是( B )
①存在两个不等实数α,β,使得等式sin(α+β)=sin α+sin β
成立;
②若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m,n,s,t∈N*),则m+n=s+t;
③若Sn是等比数列{an}的前n项和,则S6,S12-S6,S18-S12成等比数列;
④若Sn是等比数列{an}的前n项和,且Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),则A+B=0;
⑤已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2>c2,则△ABC一定是锐角三角形;
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:①取α=π,β=-π,显然等式成立,命题正确,
②当公差d=0时,显然命题不正确,例如a1+a2=a3+a4,1+2≠3+4.
③当a1=1,q=-1时,S6=S12-S6=S18-S12=0,命题错误,
④因为Sn=Aqn+B(其中A,B是非零常数,n∈N*),
所以q≠1,此时Sn==qn+,
所以A=,B=,从而A+B=0,命题正确,
⑤由a2+b2>c2,得cos C>0,C是锐角,不能推出△ABC一定是锐角三角形,命题错误,故选B.
6.在数列{an}中,an>0,a1=,如果an+1是1与的等比中项,那么a1++++…+的值是( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意得=⇒(2an+1+anan+1+1)(2an+1-anan+1-1)=0⇒an+1=⇒an+1-1=⇒=-1,
所以=-(n-1)=-n-1⇒an=⇒=.
所以a1++…+=1-+-+…+-=.
二、填空题
7.已知数列{an}满足an+2-an+1=an+1-an,n∈N*,且a5=,若函数f(x)=sin 2x-2sin2 ,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为 .
解析:因为2an+1=an+an+2,
所以数列{an}是等差数列.
设公差为d,则an=+(n-5)d.
又因为f(x)=sin 2x-2sin2 =sin 2x+cos x-1.
所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=[sin 2(-4d)+sin 2(-3d)+…+
sin(2×)+…+sin 2(+4d)]+cos(-4d)+…+cos +…+
cos(+4d)+9×(-1)=-9.
答案:-9
8.在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5与b5的大小关系为 .
解析:设公比为q,公差为d.
则a3=a1q2,b3=b1+2d=a1+2d,
由a3=b3,
所以2d=a1(q2-1).
又因为a1≠a3,
所以q2≠1.
所以a5-b5=a1q4-(a1+4d)=a1(q2-1)2>0.
所以a5>b5.
答案:a5>b5
9.在等差数列{an}中,若任意两个不等的正整数k,p,都有ak=2p+1,
ap=2k+1,设数列{an}的前n项和为Sn,若k+p=m,则Sm= (结果用m表示).
解析:设公差为d,
因为ak=2p+1=a1+(k-1)d ①
ap=2k+1=a1+(p-1)d ②
由①-②可得d=-2,把d=-2代入
ak=2p+1可得a1+(k-1)×(-2)=2p+1,
所以a1=2p+2k-1=2m-1,
所以Sm=ma1+d
=m(2m-1)+×(-2)
=m2.
答案:m2
10.数列{an}满足a1=,an+1=-an+1(n∈N*),则m=++…+ 的整数部分是 .
解析:因为a1=,an+1=-an+1,
则an+1-an=(an-1)2>0,
所以an+1>an,
所以数列{an}单调递增,
所以an+1-1=an(an-1)>0,
所以=-,即=-,
所以Sn=++…+=(-)+(-)+…+(-)=
-=3-,
所以m=S2 013=3-.
因为a1=,
所以a2=()2-+1=,
所以a3=()2-+1=,
所以a4=()2-+1=+1>2.
因为a2 014>a4>2,
所以0<<1,
所以2<3-<3,
所以m的整数部分是2.
答案:2
11.在由正数组成的等比数列{an}中,设x=a5+a10,y=a2+a13,则x与y的大小关系为 .
解:因为等比数列{an}各项均为正数,
所以a1>0,q>0,
a2+a13-(a10+a5)=(a1q+a1q12)-(a1q9+a1q4)=a1q[(q11+1)-(q3+q8)]=a1q(q8-
1)(q3-1)≥0,
所以a2+a13≥a10+a5.
答案:y≥x
12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=(n∈N*),若不等式S2n-Sn>对于n∈N*恒成立,则自然数m的最大值为 .
解析:S2n-Sn>变形为-(k∈N*),
所以++…+≥-×(++…+)=-(1-)>-.
综上,-<++…+<(n∈N*).
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