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- 2021-06-16 发布
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_第11课__变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵____
1. 掌握二阶矩阵的乘法;理解矩阵乘法的简单性质;
2. 理解逆矩阵的意义,掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义.
3. 会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵,了解二阶行列式的定义;会用二阶行列式求逆矩阵.
4. 了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.
5. 会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组,理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.
1. 阅读:选修42第36~65页.
2. 解悟:①二阶矩阵的乘法法则;②AB=BA一定成立吗?使其成立应满足什么条件?③矩阵乘法的简单性质是什么?④逆矩阵公式是什么?
3. 践习:完成以下题目:对照考纲解析的要点,自主从教材中选做8道练习题.
基础诊断
1. 已知M=,N=,则MN=________.
2. 设A=,B=,若AB=BA,则k=________.
3. 求矩阵A=的逆矩阵.
4. 变换T1是逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2=.求:
(1) 点P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标;
(2) 函数y=x2的图象依次在T1,T2变换作用下所得的曲线的方程.
范例导航
考向
求变换矩阵中的字母并求逆矩阵
例1 已知a,b是实数,如果矩阵A=所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4).
(1) 求a,b的值;
(2) 若矩阵A的逆矩阵为B,求B2.
已知矩阵A=,直线l:x-y+4=0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′:x-y+2a=0.
(1) 求实数a的值;
(2) 求A2.
考向
求连续两次变换后的曲线(尝试两种
方法))
例2 已知矩阵M=,N=,试求曲线y=sinx在矩阵(MN)-1对应的变换下的曲线所对应的解析式.
若二阶矩阵M满足M=.
(1) 求二阶矩阵M;
(2) 若曲线C:x2+2xy+y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′,求曲线C′的方程.
自测反馈
1. (1) 求矩阵A=的逆矩阵;
(2) 利用逆矩阵知识解方程组
2. 已知曲线C1:x2+y2=1,对它先作矩阵A=对应的变换,再作矩阵B=
eq lc[
c](avs4alco1(avs4achs10co2(0,m,1,0)))对应的变换,得到曲线C2:+y2=1,求实数m的值.
1. MN的几何意义是什么?MN=NM一定成立吗?如果使其成立,应满足什么条件?
2. 逆矩阵的求法通常有三种方法:①待定系数法;②利用行列式法;③从几何变换的角度求解.
3. 你还有哪些体悟,写下来:
第11课 变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵
基础诊断
1. 解析:MN==.
2. 3 解析:因为A=,B=,所以AB==,BA==.又因为AB=BA,所以k=3.
3. 解析:因为A=,所以ad-bc=3-4=-1≠0,
所以A-1=.
4. 解析:(1) 由题意,得M1=,所以=,所以点P(2,1)在T1作用下的点P′的坐标是(-1,2).
(2) 由题意可求出变换矩阵M=M2M1=,设(x0,y0)是函数y=x2上的任意一点,在T1,T2对应变换作用下得到点(x,y),则M=,即则代入y0=x得y-x=y2,所以所求曲线的方程是y-x=y2.
范例导航
例1 解析:(1) 由题意,得=,
所以6+3a=3,2b-6=4,所以a=-1,b=5.
(2) 由(1)得A=,由矩阵的逆矩阵公式得B=,所以B2=.
解析:(1) 设直线l上的任意一点M(x0,y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l′上的点M(x,y),
则==,
所以
代入l′方程得(ax0+y0)-(x0+ay0)+2a=0,
即(a-1)x0-(a-1)y0+2a=0.
因为(x0,y0)满足x0-y0+4=0,
所以=4,解得a=2.
(2) 由(1)得A==,
得A2==.
例2 解析:MN==,
由逆矩阵公式得,(MN)-1=,
设曲线y=sinx上的任意一点P(x,y)在矩阵(MN)-1对应的变换作用后的点为P′(x′,y′),则=,由此可得x=x′,y=2y′,
代入y=sinx得sinx′=2y′,即曲线y=sinx在矩阵(MN)-1变换下的曲线为y=sinx.
解析:(1) 设A=,则|A|==-2,
故A-1=,
所以M==.
(2) 因为M=,
所以=M-1=,
即
代入x2+2xy+2y2=1可得(x′-y′)2+2(x′-y′)(-x′+2y′)+2(-x′+2y′)2=1,
即x′2-4x′y′+5y′2=1,
故曲线C′的方程为x2-4xy+5y2=1.
自测反馈
1. 解析:(1) 设逆矩阵A-1=,则由=,
得解得
所以A-1=.
(2) 由题意得A=,则A-1=,
所以=A-1==,即
注:考查逆变换与逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的知识求解方程组的方法.
2. 解析:根据题意,可求得
BA==.
设P(x0,y0)是曲线C1上的任意一点,它在矩阵BA对应的变换作用下变成点P′(x′,y′),
即==,
则即
又点P(x0,y0)在曲线C1上,则y′2+=1,即m2=1,所以m=±1.