【数学】2018届一轮复习北师大版不等式的证明学案 11页

第2讲　不等式的证明 ‎)‎ ‎1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．‎ ‎3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．‎ ‎　比较法证明不等式 ‎　求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；‎ ‎(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab).‎ ‎【证明】　(1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)‎ ‎＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)‎ ‎＝(x－1)(2x3－x－1)‎ ‎ ＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)‎ ‎＝(x－1)‎ ‎＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)‎ ‎＝(x－1)2≥0，‎ 所以1＋2x4≥2x3＋x2.‎ 法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)‎ ‎＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1‎ ‎＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，‎ 所以1＋2x4≥2x3＋x2.‎ ‎(2)＝ab＝，当a＝b时，＝1；当a>b>0时，>1，>0，>1；‎ 当b>a>0时，0<<1，<0，>1.‎ 所以aabb≥(ab). ‎ 作商比较法证明不等式的一般步骤 ‎(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商；‎ ‎(2)变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；‎ ‎(3)判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；‎ ‎(4)结论．‎ ‎1．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．‎ ‎ 由a，b是非负实数，作差得 a3＋b3－(a2＋b2)‎ ‎＝a2(－)＋b2(－)‎ ‎＝(－)．‎ 当a≥b时，≥，‎ 从而()5≥()5，‎ 得(－)≥0；‎ 当a0，‎ 所以a3＋b3≥(a2＋b2)．‎ ‎2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证abba≤(ab).‎ ‎ ＝ab－ba－＝.‎ 当a＝b时，＝1；‎ 当a>b>0时，0<<1，‎ >0，<1.‎ 当b>a>0时，>1，<0，<1.‎ 所以abba≤(ab).‎ ‎　用综合法、分析法证明不等式 ‎　设x≥1，y≥1，求证x＋y＋≤＋＋xy.‎ ‎【证明】　由于x≥1，y≥1，‎ 要证x＋y＋≤＋＋xy，‎ 只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.‎ 因为－‎ ‎＝－‎ ‎＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)‎ ‎＝(xy－1)(xy－x－y＋1)‎ ‎＝(xy－1)(x－1)(y－1)，‎ 因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，‎ 从而所要证明的不等式成立．‎ 分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程． ‎ ‎　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ca≤；‎ ‎(2)＋＋≥1.‎ ‎ (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，‎ 即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.‎ 所以＋＋≥1.‎ ‎　反证法证明不等式 ‎　设0，(1－b)c>，(1－c)a>，‎ 三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a>，①‎ 又因为00，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.‎ ‎ (1)设a<0，因为abc>0，所以bc<0.‎ 又由a＋b＋c>0，则b＋c>－a>0，‎ 所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，与题设矛盾．‎ ‎(2)若a＝0，则与abc>0矛盾，所以必有a>0.‎ 同理可证：b>0，c>0.‎ 综上可证a，b，c>0.‎ ‎　放缩法证明不等式 ‎　若a，b∈R，求证：≤＋.‎ ‎【证明】　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．‎ 当|a＋b|≠0时，‎ 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，‎ 所以＝≤＝ ‎＝＋≤＋.‎ ‎“放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．‎ 常见的放缩变换有：‎ ‎(1)变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1； ‎ ‎(2)利用函数的单调性；‎ ‎(3)真分数性质“若00，则<”．‎ ‎　在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．‎ ‎　设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.‎ ‎ 由2n≥n＋k>n(k＝1，2，…，n)，得≤<.‎ 当k＝1时，≤<；‎ 当k＝2时，≤<；‎ ‎…‎ 当k＝n时，≤<，‎ 所以＝≤＋＋…＋<＝1.‎ 所以原不等式成立．‎ ‎　用数学归纳法证明不等式 ‎　证明贝努利不等式：‎ 设x∈R，且x>－1，x≠0，n∈N，n>1，则(1＋x)n>1＋nx.‎ ‎【证明】　(1)当n＝2时，因为x≠0.‎ 所以(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2)时不等式成立，‎ 即有(1＋x)k>1＋kx，‎ 则当n＝k＋1时，由于x>－1，x≠0. ‎ 所以(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)(1＋kx)‎ ‎＝1＋x＋kx＋kx2>1＋(k＋1)x，‎ 所以当n＝k＋1时不等式成立．‎ 由(1)(2)可知，贝努利不等式成立．‎ 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤：‎ ‎(1)证明当n＝n0(满足命题的最小的自然数的值)时，命题正确． ‎ ‎(2)在假设n＝k(k≥n0)时命题正确的基础上，推证当n＝k＋1时，命题也正确．‎ 这两步合为一体才是数学归纳法，缺一不可．其中第一步是基础，第二步是递推的依据．‎ ‎　证明：对于n∈N*，不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立．‎ ‎ (1)当n＝1时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立， ‎ 即有|sin kθ|≤k|sin θ|.‎ 当n＝k＋1时，|sin(k＋1)θ|＝|sin kθcos θ＋cos kθsin θ|‎ ‎≤|sin kθcos θ|＋|cos kθsin θ|‎ ‎＝|sin kθ|·|cos θ|＋|cos kθ|·|sin θ|‎ ‎≤|sin kθ|＋|sin θ|‎ ‎≤k|sin θ|＋|sin θ|‎ ‎＝(k＋1)|sin θ|.‎ 所以当n＝k＋1时不等式也成立．‎ 由(1)(2)可知，不等式对一切正整数n均成立．‎ ‎1．若a>0，b>0，且＋＝.‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．‎ ‎ (1)由＝＋≥，‎ 得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4，‎ 且当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，‎ 使得2a＋3b＝6 .‎ ‎2．(2017·贵州省六校第一次联考)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9.‎ ‎ (1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，‎ 所以＋＋＝＋＋ ‎＝2 ‎＝2 ‎＝2＋4‎ ‎≥4 ＋4＝8‎ ，‎ 所以＋＋≥8.‎ ‎(2)因为＝＋＋＋1，‎ 由(1)知＋＋≥8.‎ 所以≥9.‎ ‎3．(2017·沈阳模拟)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：‎ ‎(1)a＋b＋c≥.‎ ‎(2)＋＋≥(＋＋)．‎ ‎ (1)要证a＋b＋c≥，‎ 由于a，b，c>0，‎ 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.‎ 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.‎ 而ab＋bc＋ca＝1，‎ 故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，‎ 即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎(2)＋＋＝.‎ 在(1)中已证a＋b＋c≥.‎ 因此要证原不等式成 立，‎ 只需证明≥＋＋，‎ 即证a＋b＋c≤1，‎ 即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ 而a＝≤，‎ b≤，c≤，‎ 所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)．‎ 所以原不等式成立．‎ ‎4．(20 16·高考全国卷甲)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎ (1)f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，‎ 所以－1＜x≤－；‎ 当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立；‎ 当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，‎ 所以≤x＜1.‎ 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．‎ ‎(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.‎ 因此|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎5．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，求证：＋＋≥.‎ ‎ 法一：因为(a－d)‎ ‎＝ ‎≥3·3＝9，‎ 当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，‎ 所以＋＋≥.‎ 法二：因为(a－d)‎ ‎＝ ‎≥＝9，‎ 当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，‎ 所以＋＋≥.‎ ‎6．求证：＋＋＋…＋<2.‎ ‎ 因为<＝－，‎ 所以＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋ ‎＝1＋＋＋…＋＝2－<2.‎