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- 2021-06-16 发布
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第五讲 对数与对数函数
1.下列说法正确的是( )
①若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.
②对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.
③函数y=ln 1+x1-x与y=ln(1+x) - ln(1 - x)的定义域相同.
④对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(1a, - 1),函数图象只在第一、四象限.
A.①③④ B.①③ C.③④ D.④
2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=loga(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
3.[2019全国卷Ⅰ,3,5分][理]已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.ab>1.若logab+logba=52,ab=ba,则a= ,b= .
考法1 对数式的运算
1(1)[2018全国卷Ⅲ,12,5分][理]设a=log0.20.3,b=log20.3,则
A.a+b0,b<0,所以ab<0,所以ab1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y= - x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;
当01时,如图2 - 5 - 3所示,要使在区间(1,2)上,f 1(x)=(x - 1)2的图象在f 2(x)=
logax的图象的下方,只需f 1(2)≤f 2(2),即(2 - 1)2≤loga2,所以loga2≥1,解得1b>c B.b>a> c C.c>b>a D.c>a>b
解法一 因为a=log2e>1,b=ln2∈(0,1),c=log1213=log23>log2e>1,所以c>a>b,故选D.
解法二 log1213=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=lnx的图象,如图2 - 5 - 4,由图可知c>a>b.
D
命题角度2 解对数不等式
5[2020福建调研]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f (x)单调递减,则不等式f (log13(2x - 5))>f (log38)的解集为
A.{x|52132}
C.{x|52132} D.{x|x<52或4116f (log38)化为|log13(2x - 5)|>|log38|,
即log3(2x - 5)>log38或log3(2x - 5)< - log38=log318,即2x - 5>8或0<2x - 5<18,解得x>132或520,00且a≠1,若函数f (x)=loga(ax2 - x)在[3,4]上单调递增,则a的取值范围是 .
给什么
想什么
①f (x)为函数y=logat与t=ax2 - x复合而成的函数.
②要使f (x)在[3,4]上单调递增,显然需要考虑内、外层函数的单调性.
②要研究外层函数y=logat的单调性,则需要分“a>1”和“01,则y=logat为增函数,因此要使f (x)在[3,4]上单调递增,则需t=ax2 - x在[3,4]上也单调递增,且f (x)有意义,即t=ax2 - x在[3,4]上恒大于0,注意到要使t=ax2 - x满足条件,只需当x=3时t=ax2 - x>0即可.
(ii)类比(i)可得到01时,要使f (x)=loga(ax2 - x)在[3,4]上单调递增,则t=ax2 - x在[3,4]上单调递增,且t=ax2 - x>0恒成立,即a>1,12a≤3,9a-3>0,解得a>1.
当00恒成立,即00,此时无解.
综上可知,a的取值范围是(1,+∞).
2.(1)[2019天津,6,5分]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a0,log12(-x),x<0.若f (a)>f ( - a),则实数a的取值范围是( )
A.( - 1,0)∪(0,1) B.( - ∞, - 1)∪(1,+∞)
C.( - 1,0)∪(1,+∞) D.( - ∞, - 1)∪(0,1)
考法4指数函数、对数函数的综合问题
8设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为
A.1 - ln 2 B.2(1 - ln 2) C.1+ln 2 D.2(1+ln 2)
根据函数y=12ex和函数y=ln(2x)的图象(如图2 - 5 - 5)可知两函数的图象关于直线y=x对称,…………………(y=12ex与y=ln(2x)互为反函数)
故求|PQ|的最小值可转化为求与直线y=x平行且分别与两曲线相切的两条直线间的距离,设与直线y=x平行且与曲线y=12ex相切的直线与曲线y=12ex的切点为A(m,n),则点A到直线y=x的距离的2倍即所求最小值.因为y' =(12ex)' =12ex,则12em=1,
所以m=ln2,所以切点A的坐标为(ln2,1),切点到直线y=x的距离为d=|ln2-1|2=1-ln22,所以2d=2(1 - ln2).
B
9已知∀x∈(0,13),8x≤logax+1恒成立,则实数a的取值范围是
A.(0,23) B.(0,12] C.[13,1) D.[12,1)
∀x∈(0,13),8x≤logax+1恒成立,则当01.结合对数函数y=log5x在(0,+∞)上单调递增可知b=log521,则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
因为k>1,所以lgk>0,所以2x - 3y=2lgklg2-3lgklg3=lgk×(2lg3-3lg2)lg2×lg3=lgk×lg98lg2×lg3>0,故2x>3y,
2x - 5z=2lgklg2-5lgklg5=lgk×(2lg5-5lg2)lg2×lg5=lgk×lg2532lg2×lg5<0,故2x<5z.所以3y<2x<5z.
解法二 (作商法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.
则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
所以2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,即2x>3y,
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1,即5z>2x.
所以5z>2x>3y.
解法三 (中间值法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,
则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
所以3y=lgklg33,2x=lgklg2,5z=lgklg55.
因为33=69>68=2,2=1032>1025=55,
所以lg33>lg2>lg55>0.
又k>1,所以lgk>0,
所以3y<2x<5z.
解法四 (函数法)令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,
则x=lnkln2,y=lnkln3,z=lnkln5.
设函数f (t)=tlnklnt(t>0,t≠1),
则f (2)=2lnkln2=2x,f (3)=3lnkln3=3y,f (5)=5lnkln5=5z.
f ' (t)=lnk·lnt-1t·tlnk(lnt)2=(lnt-1)lnk(lnt)2,
易得当t∈(e,+∞)时,f ' (t)>0,函数f (t)单调递增.
因为e<3<4<5,所以f (3)0,t≠1),将数值的大小比较问题转化为函数单调性问题求解,显然将f (2)转化为f (4)是该解法的关键,否则仍需利用作差法、作商法或借助中间值比较大小.当然,解题时也可直接取一个固定的k值,如在解法一、二、三中可令k=10,在解法四中可令k=e,解题过程将更简单.
4.(1)[2019沈阳市第三次质量监测]设a=log2 0182019,b=log2 0192018,c=2 01812019,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
(2)设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则x2,y3,z5的大小关系不可能是( )
A.x21,则y=1ax是减函数,而y=loga(x+12)是增函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.
解法二 分别取a=12和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.
3.B ∵a=log20.2<0,b=20.2>1,c=0.20.3∈(0,1),∴a0,所以ln x3>0,所以x3>1.又ln120时, - x<0,f ( - x)= - e - ax.因为函数f (x)为奇函数,所以当x>0时,f (x)= - f ( - x)=e - ax,所以f (ln 2)=e - aln 2=(12)a=8,所以a= - 3.
6. - 2 解法一 由f (a)=ln(1+a2 - a)+1=4,得ln(1+a2 - a)=3,所以f ( - a)=ln(1+a2+a)+1= - ln11+a2+a+1= - ln(1+a2 - a)+1= - 3+1=
- 2.
解法二 因为f (x)=ln(1+x2 - x)+1,
所以f (x)+f ( - x)=ln(1+x2 - x)+ln(1+x2+x)+2=2.
故f (a)+f ( - a)=2,所以f ( - a)=2 - 4= - 2.
7.4 2 因为a>b>1,所以logab∈(0,1).因为logab+logba=52,即logab+1logab=52,所以logab=12或logab=2(舍去),所以a12=b,即a=b2.所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.
1.C 函数y=2log4(1 - x)的定义域为( - ∞,1),排除A,B;易知函数y=2log4(1 - x)在定义域上单调递减,排除D.选C.
2.(1)A 因为a=log520.51=12,故alog0.50.25=2,c=0.50.2<0.50=1,故c0,所以x2 - 4x - 5<0,解得 - 10,log2a> - log2a或a<0,log12( - a)>log2( - a),解得a>1或 - 112log2 0182 018=12,b=log2 0192018=12log2 0192 018<12log2 0192 019=12,所以a>b,
又a=12log2 0182 019<12log2 0182 0182=1,c=2 01812019>2 0180=1,所以c>a>b,故选C.
(2)B 解法一 取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知x2=y3=z5,此时选项C成立.
取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知x20,接下来对k与1的大小关系加以讨论.
若k=1,则x2=1,y3=1,z5=1,所以x2=y3=z5,所以选项C有可能成立.
若03k - 1>5k - 1,所以z51,则根据函数f (t)=tk - 1在(0,+∞)上单调递增可得2k - 1<3k - 1<5k - 1,所以x20,则f (x)单调递增;②若a=0,则
f (x)为常数函数;③若a<0,则f (x)单调递减.