海南省海口市海南枫叶国际学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

海南枫叶国际学校 2019-2020 学年度第一学期 高一年级数学学科期中考试试卷 一、选择题、（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.集合 U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则 S∩（∁UT）等于（ ） A. {1，4，5，6} B. {1，5} C. {4} D. {1，2，3， 4，5} 【答案】B 【解析】 【分析】 由集合 ， ，由补集的运算有 ,又 ， 再结合交集的运算即可得解. 【详解】解：因为集合 ， ， 所以 ,又 ， 所以 , 故选 B. 【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础 题. 2.若 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （ ） A. 2 B. 6 C. －2 D. －6 【答案】C 【解析】 【分析】 利用奇函数的性质得到 ，计算即得解. 【详解】由奇函数 性质得到 .的 { }1,2,3,4,5,6U = { }2,3,4T = { }1,5,6UC T = { }1,4,5S = { }1,2,3,4,5,6U = { }2,3,4T = { }1,5,6UC T = { }1,4,5S = { }( ) 1,5US C T∩ = ( )f x R 0x > 2( )f x x x= − ( 2)f − = ( 2) (2)f f− = − ( 2) (2)= (4 2) 2f f− = − − − = − 故选：C 【点睛】本题主要考查奇函数性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3.集合 的真子集的个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据已知化简集合，再求集合的真子集的个数得解. 【详解】因为 所以 均满足 . 所以集合 , 由于集合 A 有 3 个元素， 所以它的真子集的个数为 . 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的真子集的个数的计算，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平. 4.函数 y= 的定义域为 A. （-2，2） B. （-∞，-2）∪（2，+∞） C. [-2，2] D. （-∞，-2] ∪[2，+∞） 【答案】A 【解析】 要使函数 有意义，则有 ，解得 ，即定义域为 ，故选 A. 5.已知 ，函数 的最小值是（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 9 10A x N Nx  = ∈ ∈ −  9 ,10 Nx ∈− 10 1,3,9, 9,7,1.x x− = ∴ = x∈N {1,7,9}A = 32 1 7− = 2 2 4 x− 2 2 4 y x = − 24 0x− > 2 2x− < < ( )2,2− 2x > 4 2y xx = +− 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 该 函 数 的 单 调 性 较 难 求 ， 所 以 可 以 考 虑 用 不 等 式 来 求 最 小 值 ， ， 因 为 ， 由 重 要 不 等 式 可 知 ，所以 ，本题正确选项为 D. 考点：重要不等式的运用. 6.已知 ，则 的值等于（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 详解】 , ， ， ，故选 B. 考点：分段函数. 7.若 ，则“ ”是“ ”的（ ）. A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 因为 ，所以“ ”是“ ”的必要而不 充分条件. 考点：充分条件与必要条件. 8.下列不等式正确的是（　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 【 2 , 0( ) ( 1), 0 x xf x f x x >=  + ≤ 4 4( ) ( )3 3f f+ − 2− 4− 2 , 0( ) ( 1), 0 x xf x f x x >=  + ≤ 4 4 8( ) 23 3 3f∴ = × = 4 4 1 1 2( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )3 3 3 3 3f f f f f∴ − = − + = − = − + = 2 42 3 3 = × = 4 4 8 4( ) ( ) 43 3 3 3f f∴ + − = + = a∈R 2a a> 1a > 2a a> a b> a c b c⋅ > ⋅ 2 2a c b c⋅ > ⋅ a b> C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 试题分析：A.若 c<0，则不等号改变，若 c=0，两式相等，故 A 错误；B. 若 ，则 ，故 ，故 B 正确；C.若 b=0，则表达是不成立故 C 错误；D.c=0 时错误. 考点：不等式的性质. 9.下列函数中，既是偶函数又在 上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 逐一讨论每一个选项函数的奇偶性和单调性判断得解. 【详解】A. ,满足 ,所以它是偶函数，根据它的图象可以看到它在 上单调递增，所以该选项符合题意； B. ，是一个奇函数，在 上单调递增，所以该选项不符合题意； C. ，是一个偶函数，在 上单调递减，所以该选项不符合题意； D. ，由于 ，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶的函数，在 上单调递增，所以该选项不符合题意. 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平. 10.若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 a b> 1 1 a b < a b> 2 2a c b c⋅ > ⋅ 2 2a c b c⋅ > ⋅ 2 0c > a b> (0, )+∞ | | 1y x= + 3y x= 2 1y x= − + y x= | | 1y x= + ( ) ( )f x f x− = (0, )+∞ 3y x= (0, )+∞ 2 1y x= − + (0, )+∞ y x= 0x ≥ (0, )+∞ 2 2 3( ) 1 xf x ax ax −= + + R a (0,4) [0,2) [0,4) (2,4] 【分析】 等价于不等式 的解集为 R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得 的解集为 R, 当 时，1＞0 恒成立，所以 . 当 时， ，所以 . 综合得 . 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平. 11.函数 是奇函数且在 上是增函数， ，则不等式 的解集为 （ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】解；∵f（x）是奇函数，f（-3）=0，且在（0，+∞）内是增函数， ∴f（3）=0，且在（-∞，0）内是增函数， ∵xf（x）＜0 ∴1°当 x＞0 时，f（x）＜0=f（3） ∴0＜x＜3 2°当 x＜0 时，f（x）＞0=f（-3） ∴-3＜x＜0． 3°当 x=0 时，不等式无解． 综上，xf（x）＜0 的解集是{x|0＜x＜3 或-3＜x＜0}． 故选 D． 12.函数 y＝f(x)对于任意 x，y∈R，有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，当 x>0 时，f(x)>1，且 f(3) ＝4，则（ ） 2 1 0ax ax+ + > 2 1 0ax ax+ + > 0a = 0a = 0a ≠ 2 0 4 0 a a a > ∆ = − < 0 4a< < 0 4a≤ < ( )f x ( )0 + ∞， ( 3) 0f − = ( ) 0xf x < { | 3x x < − }0 3x< < { | 3 0x x− < < 3}x > { | 3x x < − 3}x > { | 3 0x x− < < 0 3}x< < A. f(x)在 R 上是减函数，且 f(1)＝3 B. f(x)在 R 上是增函数，且 f(1)＝3 C. f(x)在 R 上是减函数，且 f(1)＝2 D. f(x)在 R 上是增函数，且 f(1)＝2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据定义判断函数 的单调性,根据 ,利用赋值法即可求得 的值. 【详解】函数 在 R 上单调递增,证明过程如下: 任取 ,且 则 因为 ,所以 又因为当 时, 所以 ,即 则 ,可得 所以函数 在 R 上单调递增 令 ,由 可得 令 可得 ( )y f x= ( )3 4f = ( )1f ( )y f x= 1 2x x< ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ( ) ( )2 1f x f x− ( ) ( )2 1 1 1f x x x f x= − + −   ( ) ( ) ( )2 1 1 11f x x f x f x= − + − − ( )2 1 1f x x= − − 1 2x x< 2 1 0x x− > 0x > ( ) 1f x > ( )2 1 1f x x− > ( )2 1 1 0f x x− − > ( ) ( )2 1 0f x f x− > ( ) ( )2 1f x f x> ( )y f x= 1x y= = ( ) ( ) ( ) 1f x y f x f y+ = + − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 1 1f f f f= + − = − 2, 1x y= = ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 3 1 2f f f f= + − = − 因为 所以 综上可知,D 为正确选项 故选:D 【点睛】本题考查了利用定义证明抽象函数的单调性,赋值法求函数值的应用,属于中档题. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20.0 分） 13.命题“∃x R，x＋1≥0”的否定为______． 【答案】∀x∈R，x＋1＜0 【解析】 由题意，特称命题“∃ ，x＋1≥0”的否定为全称命题：“∀x∈R，x＋1＜0”. 点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称 (存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给 予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词． 14.已知 ，则 __________． 【答案】 【解析】 设 2x+1=t,则 ，f(t)= ，即 f(t)= ,所以 f(x)= . 答案： . 点睛：换元法是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且 函数的变量易于用另一个变量表示的问题．它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换 元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域． 15.函数 的单调递增区间为_______________． 【答案】 和 【解析】 【分析】 作出函数 的图象，利用数形结合可得结果. ( )3 4f = ( ) ( )11 4 2 23f = + = x∈R 2(2 1)f x x x+ = + ( )f x = 21 1x4 4 − t 1x 2 −= 2t 1 t 1( )2 2 − −+ 2t 1 4 − 2 2x 1 1 1x4 4 4 − = − 21 1x4 4 − 2 2 3y x x= − − ( )1,1− ( )3,+∞ 2 2 3y x x= − − 【详解】作出函数 的图象如下图所示， 由图象可知，函数 的单调递增区间为 和 ． 【点睛】判断函数单调性的一般方法：1．利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数 的图象便可判断函数在相应区间上的单调性； 2．性质法：（1）增函数 增函数 增函数，减函数 减函数 减函数，增函数 减函数 增 函数，减函数 增函数 减函数； （2）函数 与函数 的单调性相反； （3） 时，函数 与 的单调性相反（ ）； 时，函数 与 的单调性相同（ ）． 2．导数法： 在区间 D 上恒成立，则函数 在区间 D 上单调递增； 在 区间 D 上恒成立，则函数 在区间 D 上单调递减． 4．定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）． 【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函 16.当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 运用参数分离，再结合基本不等式，即可求出实数 的取值范围． 【详解】 当 时，不等式 恒成立， 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − ( )1,1− ( )3,+∞ + = + = − = − = ( )f x− ( )f x 0k > ( )f x ( ) k f x ( ) 0f x ≠ k 0< ( )f x ( ) k f x ( ) 0f x ≠ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 0x > 2 4 0x mx+ + > m ( 4, )− +∞ m  0x > 2 4 0x mx+ + > ， ， 时，取等号）， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运 算能力． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.已知全集 U=R，集合 A={–1≤x<3}，B={x|2x+2≥x+4}， （1）求 A∩B； （2）若 C={x|2x–a>0}，且 B∪C=B，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）[2，3）；（2）a 的取值范围是[4，+∞）． 【解析】 【分析】 (1)先解不等式得集合 B，再根据交集定义求结果，(2)先由 B∪C=B，得 C⊆B，再利用数轴确 定实数 a 满足 条件，解得结果. 【详解】（1）∵A={–1≤x<3}，B={x|2x+2≥x+4}={x|x≥2}， ∴A∩B=[2，3）； （2）C={x|2x–a>0}={x|x> }， ∵B∪C=B，∴C⊆B， 则 ，即 a≥4． ∴实数 a 的取值范围是[4，+∞）． 【点睛】集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的 前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解 决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图． 的 4( )m x x ∴ > − + 0x > 4 2 4=4( 2x xx ∴ + = 4( ) 4x x ∴− + − 4m∴ > − ( 4, )− +∞ 2 a 22 a ≥ 18.已知函数 . （1）求 ； （2）判断函数 在 上 单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】（1）-1；（2）在 上单调递增，证明详见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求出 ，再求 得解；（2）先判断函数 在 上单调递 增，再利用单调性的定义证明. 【详解】（1）∵ ，∴ ； （2）函数 在 上单调递增，证明如下： 任取 且 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ，从而 ， ∴函数 在 上单调递增. 【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平. 19.已知幂函数 的图象过点 . （1）求函数 的解析式； （2）设函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 的 1( ) 2f x x x = − 1 2f f         ( )f x (0, )+∞ (0, )+∞ 1 12f   = −   1 2f f         ( )f x (0, )+∞ 1 12f   = −   1 ( 1) 12f f f    = − = −     ( )f x (0, )+∞ 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x< ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 12 2f x f x x xx x  − = − − −    ( ) 1 2 1 2 1 2 2 x xx x x x −= − + ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1x xx x x x  += −     1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 0x x > 1 22 1 0x x + > 1 2x x< 1 2 0x x− < ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x< ( )f x (0, )+∞ ( ) af x x= (2,4) ( )f x ( ) 4 ( ) 8h x f x kx= − − [5,8] k 2( )f x x= ( ] [ ),40 64,−∞ +∞ 【解析】 【分析】 （1）由题得 ，解方程即得解；（2） 在区间 上是单调 函数，再分两种情况讨论得解. 【详解】（1） 是幂函数， ，又图象过点 ， ∴ ，∴ ，∴ ； （2）函数 ，∴ ，对称轴为 ； 当 在 上为增函数时， ，解得 ； 当 在 上为减函数时， ， ； 所以 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平. 20.已知 ， ， . （1）求 的最小值； （2）求 的最小值. 【答案】(1) 64 ,(2) x+y 的最小值为 18. 【解析】 试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由 ，变形得 ，利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出． 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故 , 故 ，当且仅当 即 时等号成立，∴ (2) 2 4af = = 2( ) 4 8h x x kx= − − [5,8] ( )f x ( ) af x x= (2, 4)− (2) 2 4af = = 2a = 2( )f x x= ( ) 4 ( ) 8h x f x kx= − − 2( ) 4 8h x x kx= − − 8 kx = ( )h x [5,8] 58 k ≤ 40k ≤ ( )h x [5,8] 88 k ≥ 64k ≥ k ( ] [ ),40 64,−∞ +∞ 0x > 0y > 2 8 0x y xy+ − = xy x y+ 2 8x y xy+ = 8 2 1x y + = 2 8 0x y xy+ − = 8 2 1x y + = 0x > 0y > 8 2 8 2 81 2x y x y xy = + ≥ ⋅ = 64xy ≥ 8 2 1, 8 2 x y x y  + =  = 16 4 x y =  = ( )min 64xy = (2)由 2 ,得 ,则 .当且仅当 即 时等号成立.∴ 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘 1 法”和变形利用基本不等式是解题 的关键． 21.已知 是定义在 上的奇函数. （1）若 在 上单调递减，且 ，求实数 的取值范围； （2）当 时， ，求 在 上的解析式. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）解抽象不等式主要是运用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为变量取值之间的大 小关系，即去掉函数符号；（2）具有奇偶性的函数，其图象就具有对称性，因此给出一半的 解析式，就可求出另一半的解析式，主要是运用好奇偶性代数和几何两方面的特征解题. 【详解】（1）因 为奇函数，所以 可化为 又 在 上单调递减，于是有 解得 ： 所以实数 的取值范围是 . （2）当 时，则 又 是定义在 上的奇函数， 为 2 8 0x y xy+ − = 8 2 1x y + = ( )8 2x y x yx y  + = + ⋅ +   2 8 2 8=10 10 2 18x y x y y x y x + + ≥ + ⋅ = 8 2 1, 2 8 x y x y y x  + =  = 12 6 x y =  = ( )min 18x y+ = ( )f x ( 1,1)− ( )f x ( 1,1)− (1 ) (1 2 ) 0f a f a− + − < a 0 1x< < 2( ) 1f x x x= + + ( )f x ( 1,1)− 0 2 3a< < 2 2 1(0 1) ( ) {0( 0) 1(1 0) x x x f x x x x x + + < < = = − + − < < ( )f x (1 ) (1 2 ) 0f a f a− + − < (1 ) (2 1)f a f a− < − ( )f x ( 1,1)− 1 1 1 { 1 2 1 1 1 2 1 a a a a − < − < − < − < − > − 0 2 3a< < a 0 2 3a< < 1 0x− < < 0 1x< − < ∴ 2 2( ) ( ) ( ) 1 1f x x x x x− = − + − + = − + ( )f x ( 1,1)− ( ) ( )f x f x∴ − = − ， 又 是定义在 上的奇函数， 所以 的解析式为： 22.某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 千件，需另投入成本 ，当年 产量不足 80 千件时， （万元）；当年产量不小于 80 千件时， （万元），每件售价为 0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商 品能全部售完． （1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】（1） ；（2）100 千件. 【解析】 【分析】 （1）分两种情况进行研究，当 时，当 时，分别根据年利润等于销售收入与 成本的差，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的 解析式，分段研究函数的最值，当 时，利用二次函数求最值，当 时，利用 基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 【详解】（1）∵每件商品售价为 0.05 万元， ∴ 千件商品销售额为 万元， ①当 时，根据年利润=销售收入-成本， ∴ ； ②当 时，根据年利润=销售收入-成本， ∴ 2( ) 1f x x x∴− = − + 2( ) 1f x x x∴ = − + − ( )f x ( 1,1)− (0) 0f∴ = ( )f x 2 2 1 (0 1) ( ) {0 ( 0) 1 ( 1 0) x x x f x x x x x + + < < = = − + − − < < x ( )C x 21( ) 103C x x x= + 10000( ) 51 1450C x x x = + − ( )L x x 21 40 250,0 803( ) 100001200 ( ), 80 x x x L x x xx − + − < <=   − + ≥ 0 80x< < 80x ≥ 0 80x< < 80x ≥ x 0.05 1000x× 0 80x< < ( ) ( ) 2 21 10.05 1000 10 250 40 2503 3L x x x x x x= × − − − = − + − 80x ≥ ( ) ( ) 10000 100000.05 1000 51 1450 250 1200L x x x xx x  = × − − + − = − +   综合①②可得， ； （2）①当 时， ， ∴当 时， 取得最大值 万元； ②当 时， ， 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 万元． 综合①②，由于 ， ∴年产量为 100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 【点睛】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最 值的能力．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活 的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能 将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时， 做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). ( ) 21 40 250,0 803 100001200 , 80 x x x L x x xx − + − < <=    − + ≥    0 80x< < ( ) ( )221 140 250 60 9503 3L x x x x= − + − = − − + 60x = ( )L x ( )60 950L = 80x ≥ ( ) 10000 100001200 1200 2 1200 200 1000L x x xx x  = − + ≤ − ⋅ = − =   10000x x = 100x = ( )L x ( )100 1000L = 950 1000<