新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：2-6-1-一 余弦定理 课件（69张） 69页

§6　平面向量的应用 6.1　余弦定理与正弦定理　　　　　　　 一、余弦定理 必备知识·自主学习 1.余弦定理 (1)文字叙述:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们 夹角余弦的积的两倍. (2)符号表示:a2=______________, b2= ______________,  c2= ______________.  导 思 1.余弦定理的内容是什么? 2.余弦定理可以解决哪些问题? b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C 【说明】余弦定理的理解: (1)适用范围:任意三角形. (2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”. (3)主要作用:余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化. 【思考】 余弦定理与勾股定理之间有何联系? 提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. 2.余弦定理的公式变形 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a a c bcos A cos B2bc 2ac a b ccos C .2ab     － －， ， － 【思考】 (1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形,你认为余弦定理可以用来求解哪类 三角形? 提示:①已知两边及其夹角,解三角形; ②已知三边,解三角形. (2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢? 提示:当条件中出现了余弦定理的局部或变形,如a2+b2,a+b,ab,cos A等,可以考 虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形. 3.三角形面积公式 △ABC的面积公式为S= ah= absin C(其中a,b,c分别为A,B,C的对边,h为边BC 上的高). 1 2 1 2 【思考】 若已知三角形的两边及其夹角,如何选用面积公式? 提示:选用S= absin C= acsin B= bcsin A更简便.1 2 1 2 1 2 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)余弦定理仅适用于非直角三角形. (　　) (2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. (　　) (3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题, 则求解时都只有一个解.(　　) 提示:(1)×.余弦定理适用于任意三角形. (2)√.由c2>a2+b2,可得a2+b2-c2<0,所以cos C= <0,故C为钝角, △ABC为钝角三角形. (3)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该 三角形唯一. 2 2 2a b c 2ab  － 2.在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,∠C=120°,则c=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.37 B.13 C. D. 【解析】选D.因为a=3,b=4,∠C=120°, 所以c2=a2+b2-2abcos C=9+16+12=37, 所以c= . 13 37 37 3.(教材二次开发:例题改编)江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶 部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船 相距 (　　) A.10米 B.100米 C.30米 D.20米 【解析】选C.由题意画出示意图,如图: 炮台高AB=30,不妨令由炮台顶部测得船C俯角为45°, 船D的俯角为30°, 则∠CAB=45°,BC=AB=30,∠DAB=60°, BD= AB=30 ,又∠CBD=30°, 所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 30°=900, 所以CD=30. 3 3 关键能力·合作学习 类型一　应用余弦定理解三角形(数学运算) 【题组训练】 1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.90° B.120° C.135° D.150° 2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2,b=3,A= ,则△ABC解的 个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 6  3.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B= (　　)2 3 1 1A. B.9 3 1 2C. D.2 3 【解析】1.选B.根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别 为8与5,设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°-θ, 由余弦定理可得cos θ= ,所以θ=60°,故最大角与最小角的 和为120°. 2.选C.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以4=9+c2-6c· , 即c2-3 c+5=0, 解得c= 或c= , 所以△ABC解的个数是2. 25 64 49 1 2 5 8 2    － 3 2 3 3 3 7 2  3 3 7 2 － 3.选A.由余弦定理可知cos C= 可得|AB|=3,又由余弦定理可知: cos B= 2 2 2 2 2 22 | BC| | AC| | AB| 3 4 | AB| 3 2|BC||AC| 2 3 4        ， 2 2 2 2 2 2|AB| | BC| | AC| 3 3 4 1 .2|AB||BC| 2 3 3 9       【解题策略】利用余弦定理解三角形的方法 (1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况: ①已知角是其中一边的对角,用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解; ②已知角是两边的夹角,直接运用余弦定理求出另外一边,然后直接利用余弦定 理求解其他角. (2)已知三角形的三边或其比值解三角形: ①已知三边求角时直接利用余弦定理; ②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三 边求角. 注意:在解与三角形、三角函数有关的问题时,要牢记30°,45°,60°等特殊角 的三角函数值. 【补偿训练】 有一个内角为120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的值为(　　) 【解析】选B.由题意可知120°角所对的边为最大边,故cos 120°= ,化简得2m2-m-3=0,解得m= 或m=-1(舍). 3 5A.1 B. C.2 D.2 2       2 22m m 1 m 2 2m m 1     － 3 2 类型二　应用余弦定理判断三角形形状(逻辑推理) 【典例】在△ABC中,若cos A+cos C= ,则△ABC的形状是 (　　) A.C为直角的直角三角形 B.C为钝角的钝角三角形 C.B为直角的直角三角形 D.A为锐角的三角形 【思路导引】利用余弦定理角化边,根据立方和公式变形化简可得a2+c2=b2, 由此可得答案. a c b  【解析】选C.因为cos A+cos C= , 所以 所以a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2ac(a+c), 所以b2(a+c)-(a3+c3)=ac(a+c), 所以b2(a+c)-(a+c)(a2-ac+c2)=ac(a+c), 因为a+c>0所以b2-(a2-ac+c2)=ac. 所以a2+c2=b2, 所以B为直角,故该三角形为以B为直角的直角三角形. a c b  2 2 2 2 2 2b c a a b c a c 2bc 2ab b    － － ， 【解题策略】判断三角形形状的途径 (1)利用余弦定理,将已知条件转换为边的关系,通过因式分解、配方等得出边 的相应关系; (2)利用余弦定理将已知条件转化为角的三角函数间关系,利用公式得出内角关 系. 注意:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不能直接约去公因式,应移项提 取公因式,以免漏解. 【跟踪训练】 在△ABC中,已知cos A= (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由题意cos A= 及余弦定理cos A= 得 整理得c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形. b c b c 2 2 2b c a 2bc  － 2 2 2b b c a c 2bc  － ， 1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【解析】选A.cos∠BAC= 所以∠BAC= . 课堂检测·素养达标 2 5A. B.3 6 3C. D.4 3     2 2 2AC AB BC 9 25 49 1 2 AC AB 2 3 5 2       － － ， 2 3  2.已知△ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则△ABC的面积为 (　　) 【解析】选B.由余弦定理可得cos C= 所以sin C= 故△ABC的面积为S= absin C= A. 14 B.2 14 C. 15 D.2 15 2 2 2a b c 9 25 36 1 ,2ab 2 3 5 15     － － － 224 4 14 ,15 15  1 2 1 4 143 5 2 14.2 15     3.(教材二次开发:练习改编)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 a=2,A= ,c=2 ,则b=________. 【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即b2-6b+8=0,因为b>0,解得b=2或4. 答案:2或4 6  3 4.已知△ABC三条边上的高分别为3,4,6,则△ABC最小内角的余弦值为_____. 【解析】不妨设AB边上的高为3,AC边上的高为4,BC边上的高为6,则根据三角 形面积相等可得3AB=4AC=6BC,故BC边最短,BC边对应的角A最小, 由余弦定理可得cos A= 答案:  2 2 2 2 2 2 32BC ( BC) BCAB AC BC 72 .32AB AC 82 2BC BC2      －－ 7 8 5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,b+c=8,A= . 求△ABC的面积. 【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc= , 所以S△ABC= bcsin A= 3  28 3 1 2 1 28 3 7 3 .2 3 2 3    二十二　余 弦 定 理 【基础通关—水平一】 　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分) 1.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,A=60°,b=1,三角形的面积为 ,则 a=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 【解析】选D.依题意S= bcsin A= ·1·csin 60°= ,解得c=4,由余弦 定理得a= 课时素养评价 3 1 2 A.2 B. 10 C.2 3 D. 13 1 2 3 2 21 4 2 1 4cos 60 13.   － 【补偿训练】 　　在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积 是 ,则b= (　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【解析】选A.由已知S= acsin B= acsin 30°= ac= ,得ac=6,所以b2= a2+c2-2accos 30°=(a+c)2-2ac- ac=4b2-6(2+ ),解得b= +1. 3 2 1 3 2 3A.1 3 B. C. D.2 32 2    1 2 1 2 1 4 3 2 3 3 3 2.满足A=60°,c=1,a= 的△ABC的个数记为m,则am的值为(　　) A.3 B. C.1 D.不确定 【解析】选B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去), 所以满足条件的△ABC只有一个,即m=1,所以am= . 3 3 3 3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则△ABC的 形状是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cos A= 因为00,故最大角C为锐角,从而△ABC为锐角三角形,故此选项不 符合题意;D选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足,则D项必定成立). 4 4 9 1 2 2 2 8    － － 4 9 10 1 2 2 3 4    － 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c= b,cos B= cos C,a= , 则S△ABC=　　　　. 【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果. 2 2 3 【解析】因为cos B= cos C, 所以 结合c= b, 化简得a= b,从而有b2+c2=a2, 即△ABC为直角三角形,将c= b,a= 代入b2+c2=a2,得b=1,于是c= , 所以S△ABC= bc= . 答案: 2 2 2 2 2 2 2a c b 2(a b c ) 2ac 2ab  － － ， 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 【补偿训练】 　　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C= ,c=2,则△ABC面积的 最大值为　　　　. 3  【解析】由C= 及c=2 可得4=a2+b2-2abcos , 即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab 可得2ab-ab≤4,即ab≤4, 当且仅当a=b=2时取等号. 所以S= absin C= 故△ABC面积的最大值为 . 答案: 3  3  1 2 3 3ab 4 34 4    ， 3 3 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=4,c=6,则bccos A+ accos B+bccos C的值是　　　　. 【解析】因为cos A= 所以bccos A= (b2+c2-a2), 同理accos B= (a2+c2-b2), abcos C= (a2+b2-c2), 所以bccos A+accos B+abcos C= (a2+b2+c2)= . 答案: 2 2 2b c a 2bc  － ， 1 2 1 2 1 2 1 2 61 2 61 2 四、解答题(每小题10分,共20分) 9.设向量m=(a,b),n=(b-2,a-2),在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且 2c2=(2b-a)b+(2a-b)a. (1)求角C; (2)若m⊥n,边长c=2,求△ABC的周长l和面积S的值. 【解析】(1)由已知可得c2=b2+a2-ab, 所以cos C= 所以C= . (2)由题意可知m⊥n, 可得a(b-2)+b(a-2)=0，所以a+b=ab, 由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 则(a+b)2－3(a+b)－4=0，即a+b=4, 故周长为4+2=6,面积S= absin C= ·4·sin = . 2 2 2b a c 1 2ab 2  － ， 3  1 2 1 2 3  3 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2acos B. (1)判断△ABC的形状; (2)若c=1,C= ,求△ABC的面积. 6  【解析】(1)因为c=2acos B,所以 所以a2+c2-b2=c2,即a2=b2, 所以a=b,△ABC为等腰三角形. (2)由(1)知a=b, 所以cos C= 解得a2=2+ , 所以S△ABC= absin C= a2sin C= 2 2 2a c bc 2a 2ac   － ， 2 2 2 2 2 a b c 2a 1 3 2ab 2a 2   － － ， 3 1 2 1 2 2 3 .4  【创新迁移】 1.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=- ,则下列 说法错误的是 (　　) A.△ABC的面积为8 B.△ABC的周长为8+4 C.△ABC为钝角三角形 D.sin∠CDB= 5 5 5 3 10 【解析】选D.设CD=a,则BC=2a, 在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a= , 所以S△DBC= BD·CD·sin∠CDB= ×3× × =3, 所以S△ABC= S△DBC=8,故A正确; 因为∠ADC=π-∠CDB,所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB= , 在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,解得AC=2 , 5 1 2 1 2 5 2 5 5 3 5 3  5 5 5 所以C△ABC=AB+AC+BC= 故B正确; 因为AB=8为最大边,所以cos C= <0,即∠C为钝角, 所以△ABC为钝角三角形,故C正确. 因为cos∠CDB=- , 所以sin∠CDB= 故D错误. (3 5) 2 5 2 5 8 4 5     ， 2 2 2BC AC AB 3 2BC AC 5    － － 5 5 2 2 51 cos CDB 5  － ， 2.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0). (1)若c=5,求sin A的值; (2)若A为钝角,求c的取值范围. 【解析】(1)因为A(3,4),B(0,0), 所以AB=5,当c=5时BC=5, 所以AC= 由余弦定理知cos A= 因为0 ,故c的取值范围为 2 2 2AB AC BC .2AB AC   － 25 3 25( ).3  ，