【数学】山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试试题 11页

山东省菏泽市单县第五中学2020-2021学年 高二上学期开学考试试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数z＝（1﹣i）+m（1+i）是纯虚数，则实数m＝（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎2.如图所示的直观图中，O′A′＝O′B′＝2，则其平面图形的面积是（　　）‎ A．4 B． C． D．8‎ ‎3.设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎ C．若l∥α，l⊥β，则α⊥β D．若α⊥β，l⊥α，则l∥β ‎4．已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果＝，＝，那么向量＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝500m，则山高MN（单位：m）为（　　）‎ A．750 B．750 C．850 D．850‎ ‎8．如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形P1P2P3P4P5P6P7P8的中心，P1P8⊥x轴，若坐标轴上的点M（异于点O）满足＝（其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*），则满足以上条件的点M的个数为（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（　　）‎ A． ‎ B．复数z的共轭复数为＝﹣1﹣i ‎ C．复平面内表示复数z的点位于第二象限 ‎ D．复数z是方程x2+2x+2＝0的一个根 ‎10．某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（　　）‎ A．样本中女生人数多于男生人数 B．样本中B层人数最多 ‎ C．样本中E层次男生人数为6人 D．样本中D层次男生人数多于女生人数 ‎11．已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，则下列结论正确的是（　　）‎ A．如果B⊆A，那么P（A∪B）＝0.2，P（AB）＝0.5 ‎ B．如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0 ‎ C．如果A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.7，P（AB）＝0 ‎ D．如果A与B相互独立，那么P（）＝0.4，P（A）＝0.4‎ ‎12．如图，在正方体中，点为线段上一动点，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A．直线平面 B．异面直线与所成角为 ‎ C．三棱锥的体积为定值 D．平面与底面的交线平行于 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcosC+ccosB＝asinA，则A＝　　．‎ ‎14．某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人．若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为_______．‎ ‎15．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在软件的控制平台，输入“”，按回车键，得到范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______．‎ ‎16．已知三棱锥内接于半径为5的球，，，，则三棱锥体积的最大值为________．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 设．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，且，与的夹角为，求x，y的值．‎ ‎18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a＝，c＝1，．‎ ‎（1）求b及△ABC的面积S；‎ ‎（2）若D为BC边上一点，且，______，求∠ADB的正弦值．‎ 从①AD＝1，②∠CAD＝这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，在直三棱柱中，，D是线段上的动点．‎ ‎ ‎ ‎（1）当D是的中点时，证明：平面；‎ ‎（2）若，证明：平面平面．‎ ‎20．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．‎ ‎（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；‎ ‎（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．‎ ‎21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝．‎ ‎（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；‎ ‎22．（12分）‎ 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到的数据按如下方式分为9组：，，，，绘制得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；‎ ‎（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数；范围用左开右闭区间表示）；‎ ‎（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率．‎ 参考答案 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A C B A C A D ABCD ABC BD ACD 填空题 ‎13. ‎ ‎14. 8‎ ‎15.‎ ‎16.‎ 解答题：‎ ‎17．（10分）‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴， 2分 ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴． 4分 ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴， 6分 又，‎ 即， 8分 由 解得或，‎ ‎∴或． 10分 ‎18．解：（1）∵a＝，c＝1，．‎ ‎∴由余弦定理可得（）2＝b2+12﹣2bcos，整理可得b2+b﹣6＝0，解得b＝2，或﹣3（舍去），‎ ‎∴S△ABC＝bcsinA＝＝．‎ ‎（2）若选①，当AD＝1时，在△ABC中，由正弦定理，可得，可得sinB＝，∵AD＝AB＝1， ∴∠ADB＝∠B，可得sin∠ADB＝sin∠B，‎ ‎∴sin∠ADB＝．‎ 若选②，当∠CAD＝时，在△ABC中，由余弦定理可得cosB＝＝，∵A＝，∴∠BAD＝﹣＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝cosB，可得sin∠ADB＝．‎ ‎19．（12分）‎ 解：（1）证明：如图，连接，交于E，连接，则E是的中点，‎ ‎∵D是的中点，‎ ‎∴， 3分 又平面平面，‎ ‎∴平面． 6分 ‎（2）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴， 8分 ‎ 又，，，平面，‎ ‎∴平面， 10分 ‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面． 12分 ‎ ‎20．解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，‎ 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为P（A）＝＝，‎ 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，‎ 其概率为P（B）＝+（1﹣）×+（1﹣）×＝．∴甲队总得分为3分与1分的概率分别为，．‎ ‎（2）记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，‎ 事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，‎ 则P（C）＝+（1﹣）×＝，‎ 事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，‎ 则P（D）＝×＝，由题意得事件C与事件D相互独立，∴甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：‎ P（CD）＝P（C）P（D）＝＝．‎ ‎21．（12分）解：（1）解：∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．∵C1H⊥平面AA1B1B，又B为正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H＝，∴A1C1＝B1C1＝3，A1B1＝AA1＝2，‎ ‎∴cos∠C1A1B1＝＝，∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．‎ ‎（2）解：连接 AC1，由题意知AC1＝B1C1，又由于 AA1＝B1A1，A1C1＝A1C1，∴△AC1A1≌△B1C1A1，‎ 过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，得B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．‎ 在Rt△A1RB1中，B1R＝A1B1•sin∠RA1B1＝．‎ 连接 AB1，在△ARB1中，AB1＝4，AR＝B1R＝，‎ ‎，‎ 从而， ‎ ‎∴二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．‎ ‎22．（12分）解：（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，，，落在，，，的频率分别为，，，．‎ 因此，样本落在的频率为 ‎．‎ 样本中用电量在的用户数为．‎ ‎（2）为了使75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数，‎ 因为 ，‎ ‎，‎ 所以75%分位数必位于内，于是，‎ 又，‎ 所以95%分位数为280．所以第二档的范围可确定为．‎ ‎（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，，则从6户中任取2户的样本空间为：‎ ‎，共有15个样本点．‎ 设事件“走访对象来自不同分组”，‎ 则，‎ 所以，从而．‎