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- 2021-06-16 发布
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数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
,
,选C
2.函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求出函数的值域.
【详解】因为,
所以函数的值域为:.
故选:D.
【点睛】本题考查利用不等式的性质求函数的值域,注意不等式两边取倒数时,不会改变两边的正负,所以不能弄错,考查基本运算求解能力.
3.函数(且)的图象必经过点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令对数的真数为1,求出的值,从而得到函数过的定点坐标.
【详解】令,所以,
所以函数过定点坐标为.
故选:C.
【点睛】本题考查对数型函数过定点问题,考查对概念的理解,即只要对数的真数为1,不管底数如何变化,其对数值恒为1,考查基本运算求解能力.
4.下图是对数函数的图象,已知a值取,,,,则图象对应的值依次是( )
A. ,,, B. ,,,
C. ,,, D. ,,,
【答案】C
【解析】
【分析】
作出直线与曲线分别相交于四点,则的横坐标即为底数的值.
【详解】作出直线与曲线分别相交于四点,
则的横坐标即为底数的值,
因为,
所以四个数分别对应于的底数.
故选:C.
【点睛】本题考查底数对函数图象的影响变化,考查数形结合思想、转化与化归思想的应用,求解时注意利用直线进行问题转化.
5.设(为自然对数的底数),则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析:根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较.
详解:,,,∴.
故选D.
点睛:比较大小时,能用一个函数的,可根据函数的单调性进行比较,不能归到一个函数的可借助于中间数比较,如0,1,2等等.
6.已知函数的图象如图所示,则函数与在同一直角坐标系中的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由幂函数的图象得,则为增函数,为减函数,从而得到答案.
【详解】由幂函数的图象得,
由,得该函数单调递增,
由,得该函数单调递减,
故选:C.
【点睛】本题考查幂函数、指数函数、对数函数的图象,考查数形结合思想的运用,求解的关键是抓住函数的单调性.
7.已知,则= ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:,故选B.
考点:分段函数.
8.已知是定义在上的减函数,且对任意都有,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数单调性和运算关系,得到不等式组,解不等式即得答案。
【详解】
解得:,
所以不等式的解集为:.
故选:B.
【点睛】本题考查指数函数的单调性、指数不等式的解法,考查数形结合思想、函数与方程思想,考查指数幂的运算与求解.
9.某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
2
3
2.5
2.75
2.625
2.5625
1.0986
0.512
0.215
0.066
则方程的近似解(精确度0.1)可取为( )
A. 2.52 B. 2.625 C. 2.47 D. 2.75
【答案】A
【解析】
【分析】
利用零点存在定理,找到两个端点值,使得,并使得,从而得到或为方程的近似解.
【详解】由表格的数据得:,
因为函数在单调递增,
所以在存在唯一的零点,且,
所以方程的近似解可取区间内任意数,故可取.
故选:A.
【点睛】本题考查函数零点存在定理的运用、函数零点与方程根的转化关系,考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用,求解时注意对近似解精确度的要求.
10.已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,2) B. [2,+∞)
C. D.
【答案】D
【解析】
分析:可看出该函数是由和复合而成的复合函数,这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义便可建立关于a的不等式组,解出即可.
详解:令t=g(x)=x2-ax+3a,易知f(t)=log0.5t在其定义域上单调递减,要使f(x)=log0.5 (x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则t=g(x)=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且t=g(x)=x2-ax+3a>0,即所以即-0且a≠1)的图象.有以下叙述:
①第4个月时,剩留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若剩留量为,,时,所经过时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确叙述的序号是________.
【答案】①③
【解析】
根据题意,函数的图象经过点,故函数为
令时,,故①正确;
令时,,减少,当时,减少,每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;
分别令,解得 t1+t2=t3故③正确;
答案:①③.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(1)计算:;
(2)计算:.
【答案】(1)(2)19
【解析】
【分析】
(1)由指数的运算性质,对数换底公式,对数的运算性质,即可求解;
(2)由对数换底公式,对数的运算性质,指数的运算性质,即可求解;
【详解】(1)原式
(2)原式
【点睛】本题考查指数的运算性质,以及对数的运算性质,对数换底公式的化简、求值问题,解答时需熟记指数、对数的运算性质与公式,准确运算是解答关键,着重考查运算能力
18.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B={x|log2x>1},
(I)求A∩B,(∁RB)∪A;
(II)若{x|1<x<a}⊆A,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)A∩B={x|2<x≤3},(∁RB)∪A={x|x≤3}.(Ⅱ)a≤3.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先解不等式得集合A,B,再根据交集、补集、并集定义求结果,(II)根据子集为空集与非空分类讨论,解得结果.
【详解】解:(Ⅰ)
则,
(Ⅱ)若,即,满足条件,
若,则需
综上.
【点睛】本题考查集合交并补运算以及解不等式,考查基本运算求解能力,属基础题.
19.已知关于x的二次函数
(1)求证:对于任意方程必有实数根;
(2)若方程在区间和内各有一个实数根,求实数的范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)将方程整理成,再计算判别式;
(2)因为方程在区间和内各有一个实数根,利用一元二次函数根的分布得到区间端点函数值的三个不等式.
【详解】(1)方程必有实根必有实根,
因为,
所以方程必有实根.
(2)因方程在区间和内各有一个实数根,
所以解得:.
所以实数的范围是.
【点睛】本题考查一元二次函数与一元二次方程之间的关系、及一元二次函数零点分布,考查数形结合思想、转化与化归思想,考查运算求解能力.
20.已知函数.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断并证明函数的单调性;
【答案】(1)奇函数;(2)单调递减,证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先求出定义域关于原点对称,再判断,从而得到函数为奇函数;
(2)先判断函数单调递减,再利用函数单调性的定义进行证明.
【详解】(1)的定义域为关于原点对称,,
因为,
所以为奇函数.
(2)任取,且,
,
因为,所以,
所以函数单调递减.
【点睛】本题考查函数奇函数的判断、单调递减函数的定义证明,考查逻辑推理能力和运算求解能力,再判断奇函数和证明函数的单调性时,要注意指数幂的相关运算.
21.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资x成正比,其关系如图甲,B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比,其关系如图乙注:利润与投资单位为万元
分别将A,B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式;
该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
【答案】(1),,
(2)当A产品投入万元,B产品投入万元时,企业获得最大利润约为万元。
【解析】
【分析】
(1)根据题意可设代值即可求出相对应的参数,即可得到函数的解析式;
(2)设设A产品投入x万元,则B产品投入万元,企业获利利用换元法结合二次函数的性质即可求出.
【详解】解:投资为x万元,A产品的利润为万元,B产品的利润为万元,
由题设,由图知,,又,,
从而,,
设A产品投入x万元,则B产品投入万元,设企业的利润为y万元
,令,
,
当,此时,
当A产品投入万元,B产品投入万元时,企业获得最大利润约为万元。
【点睛】解决函数模型应用的解答题,还有以下几点容易造成失分:①读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型.②对涉及的相关公式,记忆错误.③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解.含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值,分段后在各段讨论最值的情况.
22.已知指数函数满足,定义域为的函数是奇函数.
(1)确定,的解析式;
(2)若在上有零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,不等式 恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)、;(2);(3).
【解析】
【分析】
(1)利用奇函数的性质得从而求得的值;
(2)先求得,问题转化为函数与在有交点,求导得函数单调性,进而求得的取值范围;
(3)利用函数为奇函数且单调递减,将不等式对任意的恒成立,转化成对任意的恒成立,再利用判别式求解.
【详解】(1)设且,
因为,所以,
所以;
因为是定义在上的奇函数,
所以,所以,
因为,所以,
所以.
(2)由(1)得,
因为在上有零点,
所以方程在有解,
所以函数与在有交点,
令,则,
当,所以在单调递增;
当,所以在单调递减,且,
所以,
所以
(3)不等式,
因为函数在上单调递减,
所以对任意的恒成立,
所以对任意的恒成立,
所以.
【点睛】本题考查指数函数的定义、零点存在定理、利用奇偶性和单调性解不等式恒成立,考查转化与化归思想、数形结合思想的应用,求解时要注意一元二次不等式恒成立问题与判别式之间的关系,考查逻辑推理能力和运算求解能力.