2020届二轮复习小题考法——三角恒等变换与解三角形课时作业（全国通用） 8页

课时跟踪检测（三）小题考法——三角恒等变换与解三角形 A组——10＋7提速练 一、选择题 ‎1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．1‎ C． D． 解析：选D　由正弦定理＝，得＝，即＝，所以b＝，故选D.‎ ‎2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝‎2a，bsin B－asin A＝‎ asin C，则sin B＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A　由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝‎2a，∴b＝a，‎ ‎∴cos B＝＝＝，则sin B＝ ＝.‎ ‎3．(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 解析：选A　因为A和B都为三角形中的内角，‎ 由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0，‎ 且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角，‎ 所以tan(A＋B)＝<0，‎ 则A＋B∈，即C为锐角，‎ 所以△ABC是锐角三角形．‎ ‎4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝(　　)‎ A．－2 B．2‎ C．－ D． 解析：选A　∵sin β＝，且<β<π，‎ ‎∴cos β＝－，tan β＝－.‎ ‎∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，‎ ‎∴tan α＝－，‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝－2.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(‎2c＋b)sin C，则A＝(　　)‎ A．60° B．120°‎ C．30° D．150°‎ 解析：选B　由已知，根据正弦定理得‎2a2＝(2b＋c)b＋(‎2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.‎ ‎6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A．＋1 B．＋1‎ C．2 D． 解析：选B　由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.‎ ‎7．(2018·衢州期中)在△ABC中，若B＝‎2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)‎ A．2 B．2‎ C. D．1‎ 解析：选B　在△ABC中，∵B＝‎2A，a＝1，b＝，‎ ‎∴由正弦定理＝，‎ 可得＝＝，‎ ‎∴cos A＝，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝，‎ ‎∴c＝＝2.‎ ‎8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为(　　)‎ A．2 B． C． D． 解析：选D　由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.‎ ‎9．(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1∠BDC＝，所以∠DAC<，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，则∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×××＝2，所以AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.‎ 答案： ‎6．(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝________；tan B的最大值为________．‎ 解析：由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋‎ ‎(－tan C)≥2＝2(当且仅当tan C＝－时取等号)，从而tan B≤＝，即tan B的最大值为.‎ 答案：－3