【数学】四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 12页

四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）‎ ‎1. 函数的导数为 A． B． C． D．‎ ‎2. 命题“”的否定是 A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 ‎ C． D．‎ ‎3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．抽样发现遂宁市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如图折线图：‎ ‎ ‎ 则下列结论中正确的是 A．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半 ‎ B．该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍 ‎ C．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍 ‎ D．该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当 ‎4. 双曲线的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为 A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎5. 已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎6. 曲线在点处的切线方程为 A．2x+y+2=0 B．2x+y-2=0‎ C．2x-y+2=0 D．2x-y-2=0‎ ‎7. 椭圆的一个焦点坐标为，则实数m=‎ A. 2 B． C． D．-‎ ‎8. 若在是增函数，则实数m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输入 ‎ ‎，则输出s的取值范围是 A. [e﹣2，1] B. [1，e] ‎ C. [e﹣2，e] D. [0，1]‎ ‎10. 阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△为直角三角形，且;（3）.若经过抛物线焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为 A. x-2y-1=0 B. 2x+y-2=0 ‎ C. x+2y-1=0 D. 2x-y-2=0‎ ‎11. 已知椭圆长半轴为2，且过点M(0,1)．若过点M引两条互相垂直的两直线，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为，则的最大值为 A．2 B． C．5 D．‎ ‎12. 已知函数，若方程有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 抛物线的焦点坐标为 ▲ ‎ ‎14. 在的展开式中，的系数为 ▲ .（用数字作答）‎ ‎15. 两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位。为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻。那么，这6人的排座方法种数为 ▲ （用数字作答）‎ ‎16. 已知双曲线的左焦点为F，过点F作 双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，垂线与双曲线的另一 条渐近线相交于点P，O为坐标原点.若△为等腰三角形，则双 曲线的离心率为 ▲ ．‎ 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.‎ ‎17. （本小题10分）已知抛物线的焦点F，C上一点(3,m)到焦点的距离为5．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）过F作直线，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线的方程 ‎18. （本小题12分）已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求a,b的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对,不等式恒成立，求c的取值范围．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：‎ 年龄（x）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 患病人数（y）‎ ‎22‎ ‎22‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎（1）求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强？（若，则x ，y相关性很强；若，则x，y相关性一般；若，则x，y相关性较弱.）‎ 参考数据：‎ 参考公式: ，‎ 相关系数 ‎20.（本小题12分）‎ ‎2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到下列联表：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）请将上述联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？‎ ‎（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎ ，．‎ ‎21. （本小题12分）已知，是椭圆的左右两个焦点，过的直线与C交于P，Q两点（P在第一象限），△的周长为8，C的离心率为.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设，为C的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.‎ ‎22. （本小题12分）已知函数 ‎ ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，求的最小值.‎ 参考答案 一、选择题（5×12=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C B C C D A D A B B 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. （0，1） 14. 15. 16. 或 三、解答题 ‎17. （本大题满分10分） ‎ ‎（1）抛物线的准线方程为 ........................................1分 由抛物线的定义可知解得 .......................................................4分 ‎∴的方程为. .......................................................5分 ‎（2）法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点 .......................................6分 设两点的坐标分别为、, ........................... 7分 两式相减,整理得 ....................................................................8分 ‎∵线段中点的纵坐标为 ‎∴直线的斜率 .................................................9分 直线的方程为即 ............................................10分 分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点 设直线的方程为由 ............................................................7分 消去,得设两点的坐标分别为,‎ ‎∵线段中点的纵坐标为∴解得...................9分 直线的方程为即..............................................................10分 ‎18. （本大题满分12分）‎ ‎（1），＝3x2+2ax+b.................................................1分 由 解得，经验证成立 ..........................................................................4分 f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞,）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）.....6分 ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增.....8分 所以当x时，f（x）为极大值，‎ 而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．.................................. 10分 要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2． ................................................................ 12分 ‎19. （本大题满分12分）‎ 解：（1）由题意得 2分 由公式求得 4分 ‎ 6分 （2） ‎......................................... 9分 ‎ ‎ ‎ ∴说明负相关 ......................................................................................................10分 又，说明相关性很强 .........................................................................12分 ‎20. （本大题满分12分）‎ ‎（1）补充完整的列联表如下：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎...................................................................................................2分 计算得...........................................4分 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．............5分 ‎（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，‎ 从而需抽取男生2人，女生4人， ................................................6分 故的所有可能取值为0，1，2． ..................................................7分 ‎，， .............................10分 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望． ................................................12分 ‎21. （本大题满分12分）‎ ‎（1）由条件得解得 ......................................................3分 所以的方程为. ........................................5分 ‎（2）由（1）得，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，. ..................................................6分 当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 设，，由得 ‎，‎ 则，， ..................................................7分 ‎∴‎ ‎.∴. ..................................................8分 因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）‎ ‎∴， ..................................................10分 ‎∴. .............................................12分 ‎22. （本大题满分12分）‎ 解：（1）‎ ‎...............................1分 由得或 ..................................................................................2分 ①若，则，由得得或 所以：若在递增；在上递减；.......................3分 ②若，在定义域上递增；.....................4分 ③若，则，由得得或 所以，若，在和上递增，在递减..........................5分 ‎（2）由（1）知，有两个极值点，且不妨设..................6分 所以，……………………………………….8分 设，则 ‎ ......................................................................................9分 由得在内单调递减 由得在内单调递增......................................................11分 所以，时，‎ 所以，当且的最小值为………………..12分