【数学】河南省南阳华龙高级中学2019-2020学年高二5月月考（文）（解析版） 13页

河南省南阳华龙高级中学2019-2020学年高二5月月考（文）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若是虚数单位，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．给出一种运算：对于函数，规定.例如：若函数，则有.已知函数，则方程的解集是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．为计算,设计了如图所示的程序框图，若执行该程序，则输出S的值为( )‎ A．2 B．-2 C．-3 D．3‎ ‎4．在抛掷一颗骰子的实验中，事件A表示“出现的点数不大于3”，事件B表示“出现的点数是5”，则事件发生的概率.（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的平均数为1，则（ ）‎ A．2 B．11 C．12 D．14‎ ‎6．在一组样本数据，，…，（，，，……，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）‎ A．-1 B．0 C． D．1‎ ‎7．曲线（为参数）的焦点坐标是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在平面直角坐标系中，方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形对应的方程是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）‎ A．某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人 B．根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质 C．平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分 D．在数列中，，计算由此归纳出的通项公式 ‎10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知直线为参数）与曲线C：交于A、B两点，则（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎12．我们把这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形（如图）.由此可推得前个正方形数的和为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为，若，则________.‎ ‎14．为了加强学生的环保意识，某校组织了一次垃圾分类知识大赛，通过初赛，甲、乙丙三位同学进入决赛，角逐一、二、三等奖（不能并列）.在获奖结果揭晓前，，，，四位同学对获奖结果预测如下：说：甲或乙获得一等奖；说：乙或丙获得一等奖；说：甲、乙都未获得一等奖；说：乙获得一等奖.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的同学是__________.‎ ‎15．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：‎ 图1 图2‎ 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数．类似地，称图2中的1，4，9，16，…的数为正方形数．观察下列数：①144；②289；③1024； ④1225； ⑤1378．其中，既是三角形数又是正方形数的是__________． (写出所有符合要求的数的序号)‎ ‎16．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线．过点的直线的参数方程为（‎ 为参数）．设直线与曲线分别交于两点．若成等比数列，则的值为________．‎ 三、 解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知复数，i为虚数单位．‎ 设，求；‎ 若，求实数的值.‎ ‎18．（12分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中的人使用微信，其中每天使用微信时间少于一小时的有60人，其余的员工每天使用微信时间不少于一小时，若将员工分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，那么使用微信的人中是青年人.若规定：每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.‎ ‎（1）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，完成列联表：‎ 青年人 中年人 合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 ‎（2）由列联表中所得数据判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”？‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）不等式证明：‎ ‎（1）证明不等式：（其中皆为正数）‎ ‎（2）已知，，，求证：至少有一个小于2.‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．若直线分别与圆和圆交于不同于原点的点和．‎ ‎（1）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎21．（12分）至2018年底,我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位,下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据.‎ 总计 年代代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎28‎ 申请量（万件）‎ ‎65‎ ‎82‎ ‎92‎ ‎110‎ ‎133‎ ‎138‎ ‎154‎ ‎774‎ ‎65‎ ‎164‎ ‎276‎ ‎440‎ ‎665‎ ‎828‎ ‎1078‎ ‎3516‎ 注：年代代码1~7分别表示2012~2018.‎ ‎（1）可以看出申请量每年都在增加,请问这几年中那一年的增长率达到最高,最高是多少？‎ ‎（2）建立关于的回归直线方程(精确到0.01),并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份.‎ 参考公式：.‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.‎ 参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.【答案】D 由复数的乘法运算法则可得,‎ ‎.‎ 故选：D ‎2．【答案】B 由题意可得，即，解得，.‎ 故选:B.‎ ‎3．【答案】C 由程序框图可知，从到时，依次进入循环，时，进入循环，此时，此时,时，退出循环，所以此时输出的值是-3.‎ 故选：C ‎4．【答案】A 掷一个骰子的试验，基本事件总数，‎ 事件A表示“出现的点数不大于3”，事件B表示“出现的点数是5”，‎ 则一次试验中，事件发生包含的基本事件有：1，2，3，5，共有4个元素，‎ ‎∴一次试验中，事件发生的概率为：，‎ 故选：A.‎ ‎5．【答案】D ‎∵，且在线性回归直线上，‎ ‎∴，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎6．【答案】D 因为所有样本点都在直线上，所以这组样本数据的样本相关系数为1，‎ 故选：D ‎7．【答案】C 根据题意，曲线为参数），消去参数得椭圆，其焦点在轴上，，，‎ 则．‎ 得焦点坐标是．‎ 故选：．‎ ‎8．【答案】C 根据反解，代入，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据可得，‎ 代入，‎ 可得.‎ 故选：C.‎ ‎9．【答案】C 对于A，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于B，推理的方法是类比推理，对于D，推理的方法是归纳推理（不完全归纳），对于C，推理的方法是演绎推理.‎ ‎10．【答案】C 设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：‎ ‎，所以.‎ 故选：C ‎11．【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题：直线的标准参数方程为，曲线C为，将直线代入到曲线方程中，得到，弦长为．‎ ‎12．【答案】C 设前个正方形数的和为，则 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由归纳推理得.‎ 故选：C.‎ ‎13．【答案】‎ 由题图可知，，由，得.‎ 故答案为：.‎ ‎14．【答案】丙 若甲获得一等奖，则只有同学的预测正确，不合题意；若乙获得一等奖，则同学，‎ ‎，的预测正确，不合题意；若丙获得一等奖，则同学，的预测正确，符合题意，‎ 所以丙获得一等奖.‎ 故答案为：丙.‎ ‎15．【答案】④‎ 由图形可得三角形数构成的数列通项，‎ 同理可得正方形数构成的数列通项，‎ 则由可排除⑤，又由，‎ 无正整数解，所以排除①②③，‎ 故答案为：④．‎ ‎16．【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 曲线，则，所以可得直角坐标系方程为，‎ 将直线的参数方程代入抛物线方程得：‎ 若成等比数列，所以，‎ 化简得又因为，所以．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）‎ 解：（1）由复数，得．‎ 则，‎ 故；‎ ‎（2） ‎ ‎，‎ 由复数相等的充要条件得：‎ ‎，‎ 解得．‎ ‎18．【答案】‎ ‎（1）由题意可得，该公司员工中使用微信共有：（人） ‎ 经常使用微信的有（人），‎ 其中青年人：（人） ‎ 使用微信的青年人为：（人） ‎ 填写列联表如下：‎ 青年人 中年人 合计 经常使用微信 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 不经常使用微信 ‎55‎ ‎5‎ ‎60‎ 合计 ‎135‎ ‎45‎ ‎180‎ ‎（2）‎ 由列联表数据可得：‎ ‎，‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下 认为“经常使用微信与年龄有关”‎ ‎19．（1）要证，因为，‎ 即证：，‎ 也就是证：，‎ 只需证：，‎ 即只要证：，‎ 而显然成立，‎ 则上述不等式也成立，‎ 故原不等式成立，证明完毕.‎ ‎（2）假设都大于等于2，‎ 即，‎ 又因为，，‎ 故可得，‎ 两式相加可得，‎ 即，‎ 这与矛盾，‎ 故假设不成立，‎ 则至少有一个小于2.‎ ‎20．【答案】（1），；（2）‎ ‎（1）由题意可知，圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴极坐标方程为，‎ 由题意可知，圆的直角坐标方程为，即，‎ ‎∴极坐标方程为． ‎ ‎（2）直线的极坐标方程为（），‎ ‎∵直线与圆，交于不同于原点的点，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积为．‎ ‎21．【答案】（1）年的增长率最高,达到了（2）;将在年突破万件 ‎（1）由表格可知年的增长率分别如下:‎ ‎;;‎ ‎;;‎ ‎;.‎ 年的增长率最高,达到了.‎ ‎（2）由表格可计算出:,,‎ 关于的回归直线方程为.‎ 令.‎ 可得:‎ 根据回归方程可预测,我国发明专利申请量将在年突破万件.‎ ‎22．【答案】（1），；（2）‎ ‎(1)由,两式相加可得,即.‎ 又,即 即. ‎ ‎(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,‎ 代入有,‎ 则.‎