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- 2021-06-16 发布
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1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;
(4)如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
从集合角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件;
(2)若A⊇B,则p是q的必要条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若AB,则p是q的充分不必要条件;
(5)若AB,则p是q的必要不充分条件;
(6)若AB且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( × )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
答案 A
解析 对于A,其逆命题是若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因为x>|y|≥y,必有x>y.
2.(教材改编)命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是( )
A.若xy,则x2>y2 D.若x≥y,则x2≥y2
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
3.(教材改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由(x-1)(x+2)=0可得x=1或x=-2,
∵{1}{1,-2},
∴“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件.
4.(2016·北京)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 若|a|=|b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为菱形,a+b,a-b表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a+b|=|a-b|不一定成立;反之,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a|=|b|不一定成立,所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
5.在下列三个结论中,正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
①若A是B的必要不充分条件,则綈B也是綈A的必要不充分条件;
②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件;
③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件.
答案 ①②
解析 易知①②正确.对于③,若x=-1,则x2=1,充分性不成立,故③错误.
题型一 命题及其关系
例1 (2016·宿州模拟)下列命题:
①“若a21,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;
④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.
其中正确的命题是( )
A.③④ B.①③ C.①② D.②④
答案 A
解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,是假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.故选A.
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
(1)命题“若x>0,则x2>0”的否命题是( )
A.若x>0,则x2≤0
B.若x2>0,则x>0
C.若x≤0,则x2≤0
D.若x2≤0,则x≤0
(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是( )
A.不拥有的人们会幸福
B.幸福的人们不都拥有
C.拥有的人们不幸福
D.不拥有的人们不幸福
答案 (1)C (2)D
题型二 充分必要条件的判定
例2 (1)(2015·四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p:x>1或x<-3,条件q:5x-6>x2,则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 (1)B (2)A
解析 (1)∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga33b>3,例如当a=,b=时,loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga3x2,得21且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p⇒q,
当x+y>2时,可以x=-1,y=4,即q⇏p,
故p是q的充分不必要条件.
(2)(等价法)因为p:x+y≠-2,q:x≠-1或y≠-1,
所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1且y=-1,
因为綈q⇒綈p但綈p⇏綈q,
所以綈q是綈p的充分不必要条件,
即p是q的充分不必要条件,故选A.
题型三 充分必要条件的应用
例3 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是[0,3].
引申探究
1.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
解 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴方程组无解,
即不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.
2.本例条件不变,若x∈綈P是x∈綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
解 由例题知P={x|-2≤x≤10},
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P⇒S且S⇏P.
∴[-2,10][1-m,1+m].
∴或
∴m≥9,即m的取值范围是[9,+∞).
思维升华 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
(1)已知命题p:a≤x≤a+1,命题q:x2-4x<0,若p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是________________.
(2)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
答案 (1)(0,3) (2)[0,]
解析 (1)令M={x|a≤x≤a+1},N={x|x2-4x<0}={x|01或x<},
綈q对应的集合B={x|x>a+1或x0;条件q:x>a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]
思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题,在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.
解析 (1)因为“p∧q是真命题”等价于“p,q都为真命题”,且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”,所以“p∧q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件.
(2)由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.
∴{x|x>a}{x|x<-3或x>1},∴a≥1.
答案 (1)A (2)A
1.命题“若α=,则tan α=1”的否命题是( )
A.若α≠,则tan α≠1
B.若α=,则tan α≠1
C.若tan α≠1,则α≠
D.若tan α≠1,则α=
答案 A
2.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是( )
A.如果x2} D.{m|-23,
即m>2,故选C.
7.设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由Venn图易知充分性成立.反之,A∩B=∅时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC.
故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.
8.(2015·湖北)设a1,a2,…,an∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,an成等比数列;q:(a+a+…+a)(a+a+…+a)=(a1a2+a2a3+…+an-1an)2,则( )
A.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
答案 B
解析 若p成立,设a1,a2,…,an的公比为q,则(a+a+…+a)(a+a+…+a)=a(1+q2+…+q2n-4)·a(1+q2+…+q2n-4)=aa(1+q2+…+q2n-4)2,(a1a2+a2a3+…+an-1an)2=(a1a2)2(1+q2+…+q2n-4)2,故q成立,故p是q的充分条件.取a1=a2=…=an=0,则q成立,而p不成立,故p不是q的必要条件,故选B.
9.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 ∵a-b>1,即a>b+1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立,反之,当a=,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.
10.有三个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2+x-6>0”的否命题.
其中真命题的序号为____________.
答案 ①
解析 命题①为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;因为命题“若a>b,则a2>b2”是假命题,故命题②是假命题;命题③为“若x>-3,则x2+x-6≤0”,因为x2+x-6≤0⇔-3≤x≤2,故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 若当x∈[0,1]时,f(x)是增函数,
又∵y=f(x)是偶函数,∴当x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
当x∈[3,4]时,x-4∈[-1,0],
∵T=2,∴f(x)=f(x-4).
故x∈[3,4]时,f(x)是减函数,充分性成立.
反之,若x∈[3,4]时,f(x)是减函数,
此时x-4∈[-1,0],
∵T=2,∴f(x)=f(x-4),
则当x∈[-1,0]时,f(x)是减函数.
∵y=f(x)是偶函数,
∴当x∈[0,1]时,f(x)是增函数,必要性也成立.
故“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
12.若xm+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
答案 [0,2]
解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|xm+1},又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
∴或∴0≤m≤2.
13.若“数列an=n2-2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题,则λ的取值范围是________________.
答案 [,+∞)
解析 若数列an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*
都成立,于是可得3>2λ,即λ<.
故所求λ的取值范围是[,+∞).
*14.下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
其中正确的是________.
答案 ①④
解析 由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确;
由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确;
由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,
反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,
所以“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件,而不是“a,b全不为零”的充要条件,③不正确,④正确.
*15.已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈[,2]},B={x|x+m2≥1},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.
解 y=x2-x+1
=(x-)2+,
∵x∈[,2],∴≤y≤2.
∴A={y|≤y≤2}.
由x+m2≥1,得x≥1-m2,
∴B={x|x≥1-m2}.
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件,
∴A⊆B,∴1-m2≤,
解得m≥或m≤-,
故实数m的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).