【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-4-2参数方程学案 11页

第二节参数方程 ‎1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.‎ 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程.‎ ‎2.参数方程和普通方程的互化 ‎(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.‎ ‎(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程 参数方程与普通方程互化的注意点 ‎(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性.‎ ‎(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.‎ ‎3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数)‎ 圆 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)‎ (φ为参数)‎ ‎[熟记常用结论]‎ 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；‎ ‎(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量.(　　)‎ ‎(3)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)‎ ‎(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、选填题 ‎1.曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A.在直线y＝2x上　　　 B.在直线y＝－2x上 C.在直线y＝x－1上 D.在直线y＝x＋1上 解析：选B　由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.‎ ‎2.若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m的值为(　　)‎ A.－4或6 B.－6或4‎ C.－1或9 D.－9或1‎ 解析：选A　由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线l与曲线C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.故选A.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，若曲线C的参数方程为 (t为参数)，则其普通方程为____________.‎ 解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.‎ 答案：x－y－1＝0‎ ‎4.已知两曲线的参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，则它们的交点坐标为________.‎ 解析：消去参数θ得普通方程为＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y2＝x，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为.‎ 答案： ‎5.曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为____________.‎ 解析：由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).‎ 答案：y＝2－2x2(－1≤x≤1)‎ 考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.‎ 解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ 即实数a的取值范围为[－2，2 ].‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.‎ 因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，‎ 从而点P到直线l的距离 d＝＝，‎ 当s＝时，dmin＝.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.‎ ‎[名师微点]‎ 将参数方程化为普通方程消参的3种方法 ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数.‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.‎ ‎[提醒]　将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.‎ 考点二 参数方程的应用 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ ‎(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点.‎ 当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.‎ l与⊙O交于两点需满足＜1，‎ 解得k＜－1或k＞1，‎ 即α∈或α∈.‎ 综上，α的取值范围是.‎ ‎(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，‎ 则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.‎ 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 .‎ ‎[解题技法]‎ 一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.‎ ‎[过关训练]‎ 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，‎ 其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ ‎(2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；‎ ‎(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值.‎ ‎[解]　(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，‎ 将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1，即ρ2＝ .‎ 因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝，‎ 曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)由点A，得所以A(2,2).‎ 因为直线l过点A(2,2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1可得，‎ t2＋(8＋18)t＋16＝0，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，t1t2＝，‎ 所以＝＝.‎ ‎[解题技法]‎ 参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略 ‎(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎[过关训练]‎ ‎　(2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知直线l过点 P(1,0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.‎ 解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝2sin α， t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，‎ 故α＝或.‎ ‎ ‎1.设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数).‎ ‎(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围.‎ 解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，‎ 所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝.‎ ‎(2)由圆C的参数方程(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.‎ 由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，‎ 得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，‎ 即kx－y＋4－3k＝0.‎ 当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，‎ 即＜2，解得k＞.‎ 即直线l的斜率的取值范围为.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α；‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，‎ 故2cos α＋sin α＝0，‎ 于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a＞0).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.‎ 解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)两边同乘以ρ得，‎ 曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0).‎ 由直线l的参数方程为(t为参数)，消去t，‎ 得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)将代入y2＝2ax，得t2－2at＋8a＝0，‎ 由Δ＞0得a＞4，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，‎ ‎∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，‎ ‎∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.‎ ‎4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数).在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线l：y＝kx(x≥0)分别交C1，C2于A，B两点(A，B异于原点)，当k∈(1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围.‎ 解：(1)由可得(x－1)2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1，‎ 即C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ 方程ρcos2θ＝sin θ可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ　(*)，‎ 将代入(*)式，可得x2＝y，‎ 所以C2的直角坐标方程为x2＝y.‎ ‎(2)因为A，B异于原点，‎ 所以联立可得A；‎ 联立可得B(k，k2).‎ 故|OA|·|OB|＝···|k|＝2|k|.‎ 又k∈(1，]，所以|OA|·|OB|∈(2,2].‎ ‎6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2交于A，B两点，点P的极坐标为，求＋的值.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x＋3y－2＝0.‎ 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得，曲线C2的直角坐标方程为y＝x2.‎ ‎(2)由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2，－2)，∴点P在曲线C1上.将曲线C1的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得9t2－80t＋150＝0，‎ 设t1，t2是点A，B对应的参数，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝＞0.‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且l过点A，曲线C1‎ 的参数方程为(α为参数).‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)过点B(－1,1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值.‎ 解：(1)由直线l过点A，得cos＝a，故a＝，‎ 则易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 由点到直线的距离公式，得曲线C1上的点到直线l的距离d＝＝，，‎ ‎∴dmax＝＝.‎ 即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为，‎ 则直线l1的参数方程为(t为参数).‎ 易知曲线C1的普通方程为＋＝1.‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程，‎ 得t2＋7t－5＝0，‎ 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－，‎ 根据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝.‎ ‎8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝8cos，直线l与圆C交于A，B两点.‎ ‎(1)若OA⊥OB，求直线l的普通方程；‎ ‎(2)设P(，1)是直线l上的点，若|AB|＝λ|PC|，求λ的值.‎ 解：(1)消去参数t，得直线l的普通方程为x＋y＝＋m，将圆C的极坐标方程ρ＝8cos的两边同时乘ρ，‎ 得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，‎ 则圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝16，‎ 所以圆C的圆心C(2，2)，半径为4，且经过原点O，数形结合得，若OA⊥OB ‎，则直线l经过圆心C，‎ 即2＋×2＝＋m，解得m＝3，‎ 即直线l的普通方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由P(，1)是直线l上的点，得m＝1，‎ 此时直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 代入到圆C的方程(x－2)2＋(y－2)2＝16中，‎ 得t2＋2t－12＝0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－2，t1t2＝－12，‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2，‎ 又|PC|＝2，|AB|＝λ|PC|，所以λ＝.‎