- 225.50 KB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第六章 不等式、推理与证明
第32讲 不等关系与不等式
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.
2.了解不等式(组)的实际背景.
3.掌握不等式的性质及应用.
2016·北京卷,5
2016·浙江卷,8
2016·江苏卷,5
利用作差、作商法比较大小;利用不等式的性质判断关于不等式的命题真假.
分值:5分
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法:
(2)作商法:
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔__b<a__
⇔
传递性
a>b,b>c⇒__a>c__
⇒
可加性
a>b⇔__a+c>b+c__
⇔
可乘性
⇒__ac>bc__
注意c的符号
⇒__ac<bc__
同向可加性
⇒__a+c>b+d__
⇒
同向同正可乘性
⇒__ac>bd>0__
⇒
可乘方性
a>b>0⇒__an>bn__(n∈N,n≥1)
a,b同为正数
可开方性
a>b>0⇒__>__(n∈N,n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b,ab>0⇒__<__.
②a<0<b⇒__<__.
③a>b>0,0<c<d⇒__>__.
④0<a<x<b或a<x<b<0⇒__<____<__.
(2)有关分数的性质
若a>b>0,m>0,则:
①<;>(b-m>0).
②>;<(b-m>0).
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( √ )
(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )
(3)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × )
(4)同向不等式具有可加和可乘性.( × )
(5)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.( √ )
解析 (1)正确.两个实数a,b之间的大小关系只有三种.
(2)错误.同乘以一个负数或0时不等号改变.
(3)错误.如-2<2,而-<.
(4)错误.同向不等式具有可加性,但不一定具有可乘性,如1<2,-3<-2,但-3>-4.
(5)正确.当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母,当这个比值中的分母大于零时,分子大于分母.
2.下列四个结论,正确的是( D )
①a>b,c<d⇒a-c>b-d;
②a>b>0,c<d<0⇒ac>bd;
③a>b>0⇒>;
④a>b>0⇒>.
A.①② B.②③
C.①④ D.①③
解析 利用不等式的同向可加性可知①正确;对②根据不等式的性质可知ac<bd,故②不正确;因为函数y=x是单调递增的,所以③正确;对④由a>b>0可知a2>b2>0,所以<,所以④不正确,故选D.
3.若a>b>0,c<d<0,则一定有( D )
A.> B.<
C.> D.<
解析 因为c<d<0,所以-c>-d>0.即得>>0,又a>b>0,得>,从而有<.
4.设a,b,c∈R,且a>b,则( D )
A.ac>bc B.<
C.a2>b2 D.a3>b3
解析 y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3>b3.
5.下列各组代数式的判断正确的是__①③④__.
①x2+5x+6<2x2+5x+9;
② (x-3)2<(x-2)(x-4);
③当x>1时,x3>x2-x+1;
④x2+y2+1>2(x+y-1).
解析 ①2x2+5x+9-x2-5x-6=x2+3>0;
所以x2+5x+6<2x2+5x+9,故①正确.
②(x-3)2-(x-2)(x-4)=1,
所以(x-3)2>(x-2)(x-4),故②错误.
③当x>1时,x3-(x2-x+1)=(x-1)(x2+1)>0,
所以当x>1时, x3>x2-x+1,故③正确.
④x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0,
所以x2+y2+1>2(x+y-1),故④正确.
一 比较两个数(式)的大小
比较大小的常用方法
(1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是变形,将差式变成乘积的形式,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.
(2)作商法:即判断商与1的关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.
(4)特殊值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采用特殊值验证法比较大小.
【例1】 (1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( B )
A.M<N B.M>N
C.M=N D.不确定
(2)对于0<a<1,给出下列四个不等式:
①loga(1+a)<loga;②loga(1+a)>loga;③a1+a<a1+;④a1+a>a1+.其中成立的是( D )
A.①与③ B.①与④
C.②与③ D.②与④
(3)若a=,b=,则a与b的大小关系为__a>b__.
解析 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1
=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),
又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.
∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
(2)当0<a<1时,(1+a)-=<0,
则1+a<1+,因此②④成立.
(3)∵a=>0,b=>0,
∴=·==>1,∴a>b.
二 不等式的性质及应用
(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.
常用的推理判断需要利用不等式的性质.
(2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.
【例2】 (1)已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)若<<0,则下列不等式:①a+b<ab;②>;③a<b;④ab<b2中,正确的不等式有( C )
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
解析 (1)因为c>d,所以c-d>0.又a>b,所以两边同时乘以(c-d),得a(c-d)>b(c-d),即ac+bd>bc+ad.若ac+bd>bc+ad,则a(c-d)>b(c-d),所以可能a>b且c>d,也可能a<b且c<d,所以“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的充分不必要条件.
(2)因为<<0,所以b<a<0,a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,<,在b<a两边同时乘以b,因为b<0,所以ab<b2.因此正确的是①④.
三 利用不等式的性质求范围
应用不等式性质求范围问题的注意点
应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.此外,这类问题还可以用线性规划的知识求解.
【例3】 已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解析 f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.
由题意,得设m(a-b)+n(a+b)=4a-2b,
则解得故f(-2)=3(a-b)+(a+b).
∵3≤3(a-b)≤6,2≤a+b≤4,∴5≤3(a-b)+(a+b)≤10,
即5≤f(-2)≤10,∴f(-2)的取值范围是 [5,10].
1.若a,b∈R且a>b,则下列不等式恒成立的是( C )
A.a2>b2 B.>1
C.2a>2b D.lg(a-b)>0
解析 A项,当a=-1且b=-2时,显然满足a>b,但不满足a2>b2,故错误;B项,当a=-1且b=-2时,显然满足a>b,但=,故错误;C项,由指数函数的单调性可知当a>b时,2a>2b,故正确;D项,当a=-1且b=-2时,显然满足a>b,但lg(a-b)=lg 1=0,故错误,故选C.
2.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为( B )
A.(1,+∞) B.(0,2)
C.(1,3) D.(0,3)
解析 由已知及三角形的三边关系得
∴∴
两式相加得,0<2×<4,∴的取值范围为(0,2),故选B.
3.下列命题中正确的是( C )
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ac>bc,则a>b
C.若<,则a<b
D.若a>b,c>d,则a-c>b-d
解析 由不等式的性质知C项正确,故选C.
4.已知30°≤α+β≤45°,-30°≤α-2β≤30°,求5α-4β的取值范围.
解析 易求得5α-4β=2(α+β)+3(α-2β),
∵30°≤α+β≤45°,-30°≤α-2β≤30°,
∴-30°≤5α-4β≤180°.
易错点 不等式的变形不等价
错因分析:①乱去分母;②忘掉分母可正、可负、不可以为零.
【例1】 若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=x,则A∩B=________.
解析 A={x|-1≤x≤1}.由≤1得≤0,
∴解得x<0或x≥1,∴B={x|x<0或x≥1}.因此A∩B={x|-1≤x<0或x=1}.
答案 {x|-1≤x<0或x=1}
【跟踪训练1】 已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( C )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若>,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则>
D.若a2>b2且ab>0,则<
解析 当c=0时,可知A项不正确;当c<0时,可知B项不正确;对于C项,由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以>成立,C项正确;当a<0且b<0时,可知D项不正确.
课时达标 第32讲
[解密考纲]主要考查不等式及其性质,以选择题或填空题的形式出现,位于选择题或填空题的中间位置,难度较易或中等.
一、选择题
1.设a,b为实数,则“a<或b<”是“0|a+b|
解析 令a=-1,b=-2代入选项验证可知D项错误,故选D.
3.(2018·浙江富阳模拟)如果a,b,c满足cac B.bc>ac
C.cb2y>0时,xy>0⇒<⇒-<0,故A项错误;函数y=sin x在(0,+∞)上不单调,当x>y>0时,不能比较sin x与sin y的大小,故B项错误;x>y>0⇒xy>1⇔ln(xy)>0⇔ln x+ln y>0,故D项错误.
5.(2016·浙江卷)已知a>0,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则( D )
A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0
C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0
解析 讨论a的取值范围,可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a与b的关系,再判断即可.∵a>0,b>0且a≠1,b≠1,
∴当a>1,即a-1>0时,不等式logab>1可化为logab>logaa,
∴b>a>1,∴(a-1)(a-b)<0,(b-1)(a-1)>0,
(b-1)(b-a)>0.当01可化为logab>logaa,即00,(b-1)(b-a)>0.故选D.
6.(2018·陕西西安检测)设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是( D )
A. B.
C.(0,π) D.
解析 由题设得0<2α<π,0≤≤,
∴-≤-≤0,∴-<2α-<π.
二、填空题
7.(2018·山西四校联考)已知a+b>0,则+与+的大小关系是__+≥+__.
解析 +-=+
=(a-b)=.
因为a+b>0,(a-b)2≥0,
所以≥0,所以+≥+.
8.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值是__27__.
解析 由4≤≤9,得16≤≤81.
又3≤xy2≤8,∴≤≤,
∴2≤≤27.∴的最大值是27.
9.(2018·贵州遵义模拟)已知下列结论:
①若a>|b|,则a2>b2;②若a>b,则<;
③若 a>b,则a3>b3;④若a<0,-1a.
其中正确的是__①③④__(只填序号即可).
解析 对于①,因为a>|b|≥0,所以a2>b2,即①正确;
对于②,当a=2,b=-1时,显然不正确;
对于③,显然正确;对于④,因为a<0,-1<b<0,
ab2-a=a(b2-1)>0,所以ab2>a,即④正确.
三、解答题
10.若实数a≠1,比较a+2与的大小.
解析 ∵a+2-==,
a2+a+1=2+>0,
∴当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<.
11.已知x,y为正实数,满足1≤lg xy≤2,3≤lg≤4,求lg(x4y2)的取值范围.
解析 设a=lg x,b=lg y,则lg xy=a+b,
lg=a-b,lg x4y2=4a+2b,设4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
∴解得∴lgx4y2=3lg xy+lg.
∵3≤3lg xy≤6,3≤lg≤4,
∴6≤lg(x4y2)≤10,即lg(x4y2)的取值范围是[6,10].
12.已知函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)=0,且a>b>c,求的取值范围.
解析 ∵f(1)=0,∴a+b+c=0,∴b=-(a+c).
又a>b>c,∴a>-(a+c)>c,且a>0,c<0,
∴1>->,即1>-1->,
即-2<<-,故的取值范围是.