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- 2021-06-16 发布
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天津七中高一数学期中考试试卷
2020.4.13
一、选择题(本大题共10小题,共30分)
1.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C
【解析】
分析:利用对立事件、互斥事件的定义求解.
详解:从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,
在A中,“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生,不是互斥事件,故A错误;
在B中,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生,不是互斥事件,故B错误;
在C中,“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生,
但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C正确;
在D中,“至少有一个黑球”与“都红球”是对立事件,故D错误.
故答案为:C
点睛:(1)本题主要考查互斥事件和对立事件的定义,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中,不可能同时发生的两个事件,对立事件指的是在一次试验中,不可能同时发生的两个事件,且在一次试验中,必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.
2.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5,若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,则应从高三学生中抽取的人数为:
A 100 B. 80 C. 60 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分层抽样的方法,得到高三学生抽取的人数为,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,学校高一、高二、高三的学生人数之比为2:3:5,采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本,所以高三学生抽取的人数为人,故选A.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用,其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.已知为实数,为虚数单位,若 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为,所以是实数,且,故,应选答案A.
4.已知向量满足,,则等于( ).
A. 1 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
∵
∴
∵
∴
∴
故选D.
点睛:求的常用的方法有:①若已知,则;②若已知表示的有向线段的两端点、的坐标,则;③构造关于
的方程,解方程求.
5.已知复数(为虚数单位),则的虚部( )
A. 1 B. -1 C. i D. -i
【答案】A
【解析】
,
所以的虚部为1
故选A
6.已知,,则的最大值和最小值分别是( )
A. 和 B. 3和1
C. 和 D. 和3
【答案】A
【解析】
,设,则 ,表示在以为圆心为半径的圆上,则表示到的距离,根据圆的几何性质可知,圆上的动点到点的最大值为,最小值为,故选A.
7. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:从甲乙等名学生中随机选出人,基本事件的总数为,甲被选中包含的基本事件的个数,所以甲被选中的概率,故选B.
考点:古典概型及其概率的计算.
8.在中.已知是延长线上一点.点为线段的中点.若.且.则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.
【详解】,,,
可得:
由
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,
考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,,则的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意,利用余弦定理可得ab,再利用三角形面积计算公式即可得出答案.
【详解】由c2=(a﹣b)2+6,可得c2=a2+b2﹣2ab+6,
由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab,
所以:a2+b2﹣2ab+6=a2+b2﹣ab,
所以ab=6;
则S△ABCabsinC;
故选:C.
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积计算公式,关键是利用余弦定理求出ab的值.
10.已知为的中心,,则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
设出外接圆半径,利用向量数量积运算,即可求得,根据同弧所对圆周角是圆心角的一半,即可求得结果.
【详解】不妨设外接圆半径为,
因为
故可得,
两边平方可得,
则,
故可得,
故,
解得,故可得,
由同弧所对圆周角是圆心角的一半,
故可得.
故选:A.
【点睛】本题考查向量数量积的运算,属综合中档题.
二、填空题(本大题共6小题,共24分)
11.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.
【答案】0.1
【解析】
试题分析:这组数据的平均数为,.故答案应填:0.1
【考点】方差
【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计,重点考查了方差的计算,本题有一定的计算量,属于简单题.认真梳理统计学的基础理论,特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等,针对训练近几年的江苏高考类似考题,直观了解本考点的考查方式,强化相关计算能力.
12.设向量,且,则m=_________.
【答案】-2
【解析】
【详解】试题分析:由题意得
考点:向量的模
13.已知向量,.若向量与垂直,则________.
【答案】7
【解析】
【分析】
由与垂直,则数量积为0,求出对应的坐标,计算即可.
【详解】,,
,又与垂直,
故,
解得,
解得.
故答案为:7.
【点睛】本题考查通过向量数量积求参数的值.
14.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,且满足,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用正弦定理边化角,求得∠B的值,然后结合数量积的定义求解的值即可.
【详解】
根据正弦定理得:
,
故答案为
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态,已知|F1|=1 N,|F2|=N,F1与F2的夹角为45°,则F3的大小为_____ N.
【答案】
【解析】
【分析】
根据力的平衡有,两边平方后可求.
【详解】由题设有,故,
所以,故,填.
【点睛】向量的数量积有两个应用:(1)计算长度或模长,通过用 ;(2)计算角,.特别地,两个非零向量垂直的充要条件是.
16.如图所示,中,直线与边,及的延长线分别交于点,,则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据题意,求得之间的关系,从而推出的等量关系,即可求得.
【详解】连接,如下图所示:
因为,故可得,
因为三点共线,故可得,
故.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的线性运算,涉及定比分点问题,属中档题.
三、解答题(本大题共4小题,共46分)
17.在△ABC中,a=7,b=8,cosB= –.
(Ⅰ)求∠A;
(Ⅱ)求AC边上的高.
【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为
【解析】
分析:(1)先根据平方关系求,再根据正弦定理求,即得;(2)根据三角形面积公式两种表示形式列方程,再利用诱导公式以及两角和正弦公式求,解得边上的高.
详解:解:(1)在△ABC中,∵cosB=–,∴B∈(,π),∴sinB=.
由正弦定理得 =,∴sinA=.∵B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=.
(2)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==.
如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==,∴AC边上高为.
点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.
18.已知.
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1),单调递减区间为;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角的正弦公式,余弦公式和两角和的正弦公式的逆用将函数解析式化为,然后利用正弦型函数的周期公式可得周期,利用正弦函数的递减区间可得的递减区间;
(2)根据正弦函数的性质可得最大最小值.
【详解】(1),
∴的最小正周期.
由,得,
∴的单调递减区间为.
(2)∵,
∴,
当,即时,函数取得最小值,为;
当,即时,函数取得最大值,为.
故函数在区间上的最大值为3,最小值为0.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦,余弦公式,考查了两角和的正弦公式的逆用,考查了三角形函数的周期,单调区间,最值,属于中档题.
19.20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
【答案】(1)0.005 (2)2,3,(3)0.3
【解析】
【详解】(1)据直方图知组距=10,
由,解得
(2)成绩落在中的学生人数为
成绩落在中的学生人数为
(3)记成绩落在中的2人为,成绩落在中的3人为、、,
则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个:
其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个:
故所求概率为
20.在中,角的对边分别为,向量,向量,且.
(1)求角的大小;
(2)设的中点为,且,求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)由向量共线可得到坐标间的关系,即三角形边角的关系式,结合余弦定理可求得的大小;(2)由正弦定理将边转化为三角形的内角表示,借助于三角函数单调性可求得最大值.
解:(1)因为,所以.由正弦定理可得,即.由余弦定理可知.
因为,所以.
(2)设,则在中,由,可知.由正弦定理及,有,所以
,所以,从而,由,可知,所以当,即时,取得最大值.
点睛:本题是向量与解三角形结合,解答题中的向量运算以坐标运算为主,在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角,利用三角函数性质求最值,利用余弦定理由边可求得角的大小.