2020届二轮复习（文）专题三第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系作业 8页

第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 ‎1.(2018四川遂宁模拟)直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(　　)‎ A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 答案　B　如图,设l∩α=A,α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l异面.故选B.‎ ‎2.(2018河南六市一模)设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(　　)‎ A.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β C.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β 答案　D　对于A,m∥α,n∥β,m⊥n,则α与β可能平行,也可能相交,所以A不是必然事件;对于B,n⊥β,m∥n,则m⊥β,又m∥α,则α⊥β,所以B是不可能事件;对于C,m⊥α,n∥β,m⊥n,则α与β可能平行也可能相交,所以C不是必然事件;对于D,m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,所以D是必然事件.故选D.‎ 二、填空题 ‎3.(2018广西百色月考)不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个结论:‎ ‎①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交,其中正确的结论是　　　　.  ‎ 答案　①‎ 解析　如图所示,三点A,B,C可能在α的同侧(如图1),也可能在α的两侧(如图2),其中真命题是①.‎ ‎4.(2019山东济南模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与CF所成角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎30‎‎10‎ 解析　如图,连接DE交FC于O,取BE的中点G,连接OG,CG,则OG∥BD且OG=‎1‎‎2‎BD,所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角.设正方形ABCD的边长为2,则CE=BE=1,CF=DE=CD‎2‎+CE‎2‎=‎5‎,所以CO=‎1‎‎2‎CF=‎5‎‎2‎.易得BE⊥平面CDFE,所以BE⊥DE,所以BD=DE‎2‎+BE‎2‎=‎6‎,所以OG=‎1‎‎2‎BD=‎6‎‎2‎.易知CE⊥平面ABEF,所以CE⊥BE,又GE=‎‎1‎‎2‎ BE=‎1‎‎2‎,所以CG=CE‎2‎+GE‎2‎=‎5‎‎2‎.在△COG中,由余弦定理得,cos∠COG=OC‎2‎+OG‎2‎-CG‎2‎‎2OC·OG=‎5‎‎2‎‎2‎‎+‎6‎‎2‎‎2‎-‎‎5‎‎2‎‎2‎‎2×‎5‎‎2‎×‎‎6‎‎2‎=‎30‎‎10‎,所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为‎30‎‎10‎.‎ 三、解答题 ‎5.(2019湖南益阳月考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=4,△ABP是等边三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,E是PB的中点,点M在棱PC上.‎ ‎(1)求证:AE⊥BM;‎ ‎(2)若三棱锥C-MDB的体积为‎16‎‎3‎‎9‎,且PM=λPC,求实数λ的值.‎ 解析　(1)证明:因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,‎ 所以BC⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.‎ 因为△ABP是等边三角形,E是PB的中点,所以BP⊥AE,‎ 又BC∩BP=B,所以AE⊥平面PBC,‎ 又BM⊂平面PBC,所以AE⊥BM.‎ ‎(2)过点P作PF⊥AB于点F,连接CF,易知PF⊥平面ABCD,则PF⊥CF,因为△ABP是等边三角形,AB=4,所以PF=2‎3‎.‎ 过点M作MN⊥CF于点N,则MN∥PF,CMCP=MNPF,‎ V三棱锥P-BCD=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×4×2‎3‎=‎16‎‎3‎‎3‎,‎ V三棱锥C-MDB=‎16‎‎3‎‎9‎=V三棱锥M-BCD,所以V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=‎1‎‎3‎,‎ 又V三棱锥M-BCDV三棱锥P-BCD=MNPF=‎1‎‎3‎,所以CMCP=MNPF=‎1‎‎3‎,所以PMPC=‎2‎‎3‎,‎ 所以λ=‎2‎‎3‎.‎ ‎6.(2019太原五中模拟)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABEF为正方形,AF=2FD=4,∠AFD=90°,且∠DFE=∠CEF=60°.‎ ‎(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;‎ ‎(2)求五面体ABCDFE的体积.‎ 解析　(1)证明:因为四边形ABEF为正方形,所以AF⊥EF.‎ 因为∠AFD=90°,所以AF⊥DF.‎ 又因为DF∩EF=F,又EF⊂平面EFDC,DF⊂平面EFDC,‎ 所以AF⊥平面EFDC,‎ 又AF⊂平面ABEF,‎ 所以平面ABEF⊥平面EFDC.‎ ‎(2)连接AE,AC,过点D作DM⊥EF,垂足为点M,‎ 则DM⊥平面ABEF.‎ 因为AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,所以AB∥平面EFDC.‎ 因为平面ABCD∩平面EFDC=CD,AB⊂平面ABCD,‎ 所以AB∥CD,所以CD∥EF.‎ 由已知,∠DFE=∠CEF=60°.‎ 所以四边形EFDC为等腰梯形.‎ VA-EFDC=‎1‎‎3‎·AF·S等腰梯形EFDC=4‎3‎,‎ VC-ABE=VD-ABE=‎1‎‎3‎·DM·S△ABE=‎8‎‎3‎‎3‎,‎ 所以五面体ABCDFE的体积V=VA-EFDC+VC-ABE=‎20‎‎3‎‎3‎.‎ ‎7.(2019湖北联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且AB=AC=1,PA=‎2‎,点E是PD的中点.‎ ‎(1)求证:PB∥平面AEC;‎ ‎(2)求点D到平面AEC的距离.‎ 解析　(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,连接OE.‎ 又点E是PD的中点,所以OE∥PB,又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥平面ACE.‎ ‎(2)因为AB⊥AC,四边形ABCD为平行四边形,所以CD⊥AC.‎ 因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.‎ 因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.‎ 又因为PC⊂平面PAC,所以CD⊥PC,‎ VD-AEC=VE-ADC=‎1‎‎2‎VP-ADC,‎ VP-ADC=‎1‎‎3‎S△ACD·|PA|=‎2‎‎6‎.‎ 设点D到平面AEC的距离为h,则VD-AEC=‎1‎‎3‎S△AEC·h,‎ 在△PAD中,PA⊥AD,PA=‎2‎,AD=‎2‎,E为PD的中点;‎ 所以AE=1,‎ 在△PCD中,PC⊥CD,PC=‎3‎,CD=1,E为PD的中点,所以CE=1,‎ 则△ACE为正三角形,所以S△AEC=‎3‎‎4‎,‎ 所以h=‎6‎‎3‎,即点D到平面AEC的距离为‎6‎‎3‎.‎ ‎8.(2019安徽师大附中检测)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,∠BAD=90°,AB=AD=1,BC=3.‎ ‎(1)求证:AF⊥CD;‎ ‎(2)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值.‎ 解析　(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以AF⊥AD,‎ 又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊂平面ADEF,‎ 所以AF⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,‎ 所以AF⊥CD.‎ ‎(2)如图,取BC上的一点G,使BG=1,则BG