【数学】2020届一轮复习（理）人教A版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案 13页

第 2 节 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否 命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充 要条件的含义. 知 识 梳 理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的 语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 p ⇒ q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 p ⇒ q 且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 q ⇒ p p 是 q 的充要条件 p ⇔ q p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p [微点提醒] 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只 否定命题的结论. 2.区别A是B的充分不必要条件(A ⇒ B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B ⇒ A 且 A B)两者的不同. 3.A 是 B 的充分不必要条件 ⇔ 綈 B 是綈 A 的充分不必要条件. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ) (2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则綈 q”.( ) (3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.( ) (4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.( ) 解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的. (2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2.(选修 2－1P6 练习引申)命题“若α＝π 4 ，则 tan α＝1”的逆否命题是( ) A.若α≠π 4 ，则 tan α≠1 B.若α＝π 4 ，则 tan α≠1 C.若 tan α≠1，则α≠π 4 D.若 tan α≠1，则α＝π 4 解析 命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，所以该命题的逆否 命题是“若 tan α≠1，则α≠π 4 ”. 答案 C 3.(选修 2－1P8AT2(1)改编)“若 a，b 都是偶数，则 ab 必是偶数”的逆否命题为 ________. 解析 “a，b 都是偶数”的否定为“a，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定 为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数”. 答案 若 ab 不是偶数，则 a，b 不都是偶数 4.(2018·天津卷)设 x∈R，则“|x－1 2|<1 2 ”是“x3<1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由|x－1 2|<1 2 ，得 0b>c，则 a＋b>c”是假命 题的一组整数 a，b，c 的值依次为________. 解析 a>b>c，取 a＝－2，b＝－4，c＝－5， 则 a＋b＝－61，则 a2>1”的否命题是“若 a>1，则 a2≤1” B.“若 am24 x0 成立 D.“若 sin α≠1 2 ，则α≠π 6 ”是真命题 (2)(2018·北京卷)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0，2]都成立，则 f(x)在[0，2] 上是增函数”为假命题的一个函数是________. 解析 (1)对于选项 A，“若 a>1，则 a2>1”的否命题是“若 a≤1，则 a2≤1”， A 错； 对于 B 项，若“am23x，C 错； 对于 D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π 6 ，则 sin α＝1 2 ”是真命题，故原命题是 真命题. (2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在 定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)min＝f(0). 答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如 f(x)＝ 0，x＝0， 1 x ，00，则 x>a；命题 q：若 m≤a－2，则 ma，则 x>0，故 a≥0.因为命题 q 的逆否命题为真命题， 所以命题 q 为真命题，则 a－2<－1，解得 a<1.则实数 a 的取值范围是[0，1). 答案 (1)D (2)[0，1) 考点二 充分条件与必要条件的判定 【例 2】 (1)(2018·北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是 “a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设函数 f(x)＝ 2mx＋1，x≥0， －x－1 x ，x<0. 则“m>1 是 f[f(－1)]>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 (1)|a－3b|＝|3a＋b| ⇔ (a－3b)2＝(3a＋b)2 ⇔ a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2， 又∵|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝0 ⇔ a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件. (2)当 m>1 时，f [f(－1)]＝f －（－1）－ 1 （－1） ＝f(2)＝22m＋1>4， 当 f[f(－1)]>4 时，f [f(－1)]＝f －（－1）－ 1 （－1） ＝f(2)＝22m＋1>4＝22， ∴2m＋1>2，解得 m>1 2. 故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件. 答案 (1)C (2)A 规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 p ⇒ q，q ⇒ p 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为 其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练 2】(1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线 m，n 满足 m⊄α，n ⊂ α，则“m∥n” 是“m∥α”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2019·佛山质检)已知函数 f(x)＝3x－3－x， ∀ a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若 m ⊄ α，n ⊂ α，m∥n，由线面平行的判定定理知 m∥α.若 m∥α，m ⊄α，n ⊂ α，不一定推出 m∥n，直线 m 与 n 可能异面，故“m∥n”是“m∥α” 的充分不必要条件. (2)因为 f(x)＝3x－3－x， 所以 f′(x)＝3xln 3－3－xln 3×(－1)＝3xln 3＋3－xln 3， 易知 f′(x)>0， 所以函数 f(x)＝3x－3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得 “f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 答案 (1)A (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用 典例迁移 【例 3】 (经典母题)已知 P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1＋ m}.若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，求实数 m 的取值范围. 解 由 x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 S ⊆ P. ∴ 1－m≥－2， 1＋m≤10， 解得 m≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得 m≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3]. 【迁移探究 1】 本例条件不变，问是否存在实数 m，使 x∈P 是 x∈S 的充要条 件？并说明理由. 解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}. 若 x∈P 是 x∈S 的充要条件，则 P＝S， ∴ 1－m＝－2， 1＋m＝10， ∴ m＝3， m＝9， 这样的 m 不存在. 【迁移探究 2】 设 p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合 S＝{x|1－m≤x≤1 ＋m}，且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解 由例题知 P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件， p 是 q 的充分不必要条件. ∴p ⇒ q 且 q p，即 P S. ∴ 1－m≤－2， 1＋m>10 或 1－m<－2， 1＋m≥10， ∴m≥9，又因为 S 为非空集合， 所以 1－m≤1＋m，解得 m≥0， 综上，实数 m 的取值范围是[9，＋∞). 规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时 需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之 间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范 围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解 的现象. 【训练 3】 (2018·浏阳三校联考)设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q： 实数 x 满足 x2－x－6≤0 或 x2＋2x－8>0.若 a<0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求 实数 a 的取值范围. 解 由 p 得(x－3a)(x－a)<0，当 a<0 时，3a0，则－2≤x≤3 或 x<－4 或 x>2，则 x<－4 或 x≥－2. 设 p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 又 p 是 q 的充分不必要条件. 可知 A B，∴a≤－4 或 3a≥－2，即 a≤－4 或 a≥－2 3. 又∵a<0，∴a≤－4 或－2 3 ≤a<0， 即实数 a 的取值范围为(－∞，－4]∪ －2 3 ，0 . [思维升华] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结 论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条 件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相 对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、 “逆否命题”. 2.充分、必要条件与集合的关系，p，q 成立的对象构成的集合分别为 A 和 B. (1)若 A ⊆ B，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. (2)若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件. (3)若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件. [易错防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提. 2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而 不必要条件是 q”等语言. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1.(2019·河南八市联考)命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是( ) A.若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B.若 a＋c≤b＋c，则 a≤b C.若 a＋c>b＋c，则 a>b D.若 a>b，则 a＋c≤b＋c 解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”. 答案 A 2.设 x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由 2－x≥0，得 x≤2，由|x－1|≤1，得 0≤x≤2. 当 x≤2 时不一定有 0≤x≤2，而当 0≤x≤2 时一定有 x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件. 答案 B 3.设 a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( ) A.ac2>bc2 B.a b>1 C.a－c>b－c D.a2>b2 解析 对于选项 A，a>b，若 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错；对于选项 B，a>b， 若 a>0，b<0，则a b<1，故 B 错；对于选项 C，a>b，则 a－c>b－c，故 C 正确； 对于选项 D，a>b，若 a，b 均小于 0，则 a2b，则 ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、 逆否命题中，真命题共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 解析 原命题：若 c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假； 逆命题为：设 a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则 a>b”.由 ac2>bc2 知 c2>0，∴由不 等式的基本性质得 a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真， ∴真命题共有 2 个. 答案 C 6.已知命题 p：x2＋2x－3＞0；命题 q：x＞a，且綈 q 的一个充分不必要条件是 綈 p，则 a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3] 解析 由 x2＋2x－3＞0，得 x＜－3 或 x＞1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p，可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，等价于 q 是 p 的充分不必要条件.故 a≥1. 答案 A 7.(2017·北京卷)设 m，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0” 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 存在负数λ，使得 m＝λn，则 m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之 m·n＝|m||n|cos 〈m，n〉<0 ⇒ cos〈m，n〉<0 ⇔ 〈m，n〉∈ π 2 ，π ，当〈m，n〉∈ π 2 ，π 时，m， n 不共线.故“存在负数λ，使得 m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件. 答案 A 8.下列结论错误的是( ) A.命题“若 x2－3x－4＝0，则 x＝4”的逆否命题为“若 x≠4，则 x2－3x－4≠0” B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件 C.命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2＋n2＝0，则 m＝0 且 n＝0”的否命题是“若 m2＋n2≠0，则 m≠0 或 n≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m>0”.若方程有 实根，则Δ＝1＋4m≥0， 即 m≥－1 4 ，不能推出 m>0.所以不是真命题. 答案 C 二、填空题 9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中 后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充 要”“既不充分也不必要”中的一个). 解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼 兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 答案 必要 10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命 题； ②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则 ab≠0”； ③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”等价. 解析 ①不正确.由 log2a>0，得 a>1，∴f(x)＝logax 在其定义域内是增函数. ②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确. ③不正确，原命题的逆命题为：“若 x＋y 是偶数，则 x，y 都是偶数”，是假命 题，如 1＋3＝4 为偶数，但 1 和 3 均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两 命题等价. 答案 ②④ 11.直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点的充要条件是________. 解析 直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同交点等价于|1－0－k| 2 < 2， 解之得－12S5 等价 d>0， 所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件. 答案 C 14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题 p：x2＋2x－3>0；命题 q： x－a x－a－1 >0，且綈 q 的一个必要不充分条件是綈 p，则 a 的取值范围是( ) A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞) C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 解析 法一 由 x2＋2x－3>0，得 x<－3 或 x>1. 则綈 p 对应的集合为 A＝{x|－3≤x≤1}. 命题 q：x>a＋1 或 x0}＝{x|x<－3 或 x>1}， q 对应的集合 D＝ x| x－a x－a－1 >0 ＝{x|x>a＋1 或 x