2020-2021学年高一数学上册课时同步练：均值不等式的应用 4页

第二单元 等式与不等式 第 15 课 均值不等式的应用 一、基础巩固 1．若 a＞1，则 a＋ 1 a－1的最小值是( ) A．2 B．a C.2 a a－1 D．3 【答案】D 【解析】∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋ 1 a－1＝a－1＋ 1 a－1＋1≥2 a－1· 1 a－1＋1＝3. 2．已知 x＜0，则 y＝x＋1 x－2 有( ) A．最大值为 0 B．最小值为 0 C．最大值为－4 D．最小值为－4 【答案】C 【解析】∵x<0，∴y＝－   －x＋ 1 －x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝ 1 －x，即 x＝－1 时取等号． 3．设 x＞0，则 y＝3－3x－1 x的最大值是( ) A．3 B．－3 2 C．3－2 3 D．－1 【答案】C 【解析】∵x＞0，∴y＝3－ 3x＋1 x ≤3－2 3x·1 x＝3－2 3.当且仅当 3x＝1 x，且 x＞0，即 x＝ 3 3 时，等 号成立． 4．若 x＞0，y＞0，且1 x＋4 y＝1，则 x＋y 的最小值是( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】x＋y＝(x＋y)· 1 x＋4 y ＝1＋y x＋4x y ＋4 ＝5＋y x＋4x y ≥5＋2 y x·4x y ＝5＋4＝9. 当且仅当    1 x＋4 y＝1， y x＝4x y ， 即   x＝3， y＝6 时等号成立，故 x＋y 的最小值为 9. 5. 若关于 x 的不等式 2 162 abxxba   对任意的 0 , 0ab恒成立，则实数 x 的取值范围是（ ） A. { 2 0 }xx   B. {20}xxx  或 C.{ 4 2}xx   D. {42}xxx  或 【答案】C 【解析】因为 0 , 0ab,所以 1616 28abab baba (当且仅当 4a b 时等号成立），所以由题 意，得 2 28xx，解得 42x   ,故选 C. 6. 若 0 , 0xy,则 112 2xyxy 的最小值是（ ） A. 32 B. 42 C.4 D.2 【答案】A 【解析】 111122 222 223 222xyxyxyxy ，当且仅当 22,22xy时等号成立. 7. 某工厂第一年产量为 A ,第二年增长率为 (0)aa ,第三年的增长率为 (0)bb ,这两年的平均增长率 为 x ,则( ) A. 2 abx  B. 2 abx  C. 2 abx  D. 2 abx  【答案】B 【解析】 这两年的平均增长率为 2,(1)(1)(1)xAxAab ， 22(1)(1)(1)xab ， 111(1 )(1 )1 22 aba bxab        ， 2 abx  ，当且仅当11ab ，即 ab 时取等号. 8. 已知 ,,abc均为正实数,求证:  2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b c        . 【答案】见解析 【解析】∵ 222a b ab ，当且仅当 ab 时等号成立， ∴    2222222abaabbab ， ∴   2 22 2 abab  ， ∴ 22 2 abab  ，① 同理 22 2 bcbc  ，② 22 2 caca  .③ ①+②+③，得  222222 222 2 2 abcabbccaabc  ，当且仅当 abc的时等号成立. 二、拓展提升 9. 若实数 ,ab满足 0ab  ,则 2214abab的最小值为（ ） A. 8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【解析】实数 ,ab满足 0ab  ，则 2211444abab abab ,当且仅当 2ab 且 1 2ab  时等号成立.故 选 C. 10. 设 0,1,ab若 2ab，则 41 1ab  的最小值为______． 【答案】9 【解析】因为 ，且 ， 10b ∴ 且 ( 1) 1ab   ， 4 1 4 1( )[ ( 1)]11aba b a b    ∴ 4( 1) 4( 1)5 5 2 911 bbaa a b a b        ， 当且仅当 4(1) 1 b a ab    时取等号， 结合 (1)1ab 可解得 2 3a  且 4 3b  ， 故所求最小值为 9 故答案为：9 11. 若实数 x，y 满足 x2＋y2＋xy＝1，则 x＋y 的最大值是________． 【答案】2 3 3 【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤   x＋y 2 2＋1.∴3 4(x＋y)2≤1. 12. 在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝ 1 □＋9 □，试求这两个数． 【答案】见解析 【解析】设1 a＋9 b＝1，a，b∈N*， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b) 1 a＋9 b ＝1＋9＋b a＋9a b ≥10＋2 b a·9a b ＝10＋2×3＝16， 当且仅当b a＝9a b ，即 b＝3a 时等号成立． 又1 a＋9 b＝1，∴1 a＋ 9 3a＝1，∴a＝4，b＝12. 这两个数分别是 4,12.