【数学】2019届一轮复习人教A版同角三角函数的基本关系解三角形学案 19页

‎ 同角三角函数的基本关系解三角形 ‎ ‎ ‎1．任意角的概念、弧度制 ‎（1）了解任意角的概念.‎ ‎（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.‎ ‎2．三角函数 ‎（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.‎ ‎（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性.‎ ‎（3）理解同角三角函数的基本关系式：，.‎ 一、角的有关概念 ‎1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎2．分类 ‎（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．‎ ‎（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．学= ‎ ‎（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合．‎ ‎3．象限角与轴线角 第一象限角的集合为；‎ 第二象限角的集合为；‎ 第三象限角的集合为；‎ 第四象限角的集合为 终边与轴非负半轴重合的角的集合为；‎ 终边与轴非正半轴重合的角的集合为；‎ 终边与轴重合的角的集合为；‎ 终边与轴非负半轴重合的角的集合为；‎ 终边与轴非正半轴重合的角的集合为；‎ 终边与轴重合的角的集合为；‎ 终边与坐标轴重合的角的集合为．‎ 二、弧度制 ‎1．1弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．‎ 规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．‎ ‎2．弧度制 用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．‎ ‎3．弧度与角度的换算 ‎．‎ ‎4．弧长公式 ‎，其中的单位是弧度，与的单位要统一.‎ 角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.‎ ‎5．扇形的面积公式 ‎.‎ ‎ 角度制下的扇形面积公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.‎ 三、任意角的三角函数 ‎ 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．‎ ‎ 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是.‎ ‎ 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．‎ ‎3．三角函数线 设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于．由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则．我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线．‎ 各象限内的三角函数线如下：‎ 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 ‎4．特殊角的三角函数值 ‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ 不存在 ‎0‎ 不存在 ‎0‎ 补充：‎ 四、同角三角函数的基本关系式 ‎1．平方关系 ‎．‎ ‎2．商的关系 ‎．‎ ‎3．同角三角函数基本关系式的变形 ‎（1）平方关系的变形：；‎ ‎（2）商的关系的变形：；‎ ‎（3）．‎ 五、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2 π+α ‎（ ∈ ）‎ π+α ‎−α π−α ‎−α ‎+α 正弦 sin α ‎−sinα ‎−sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α ‎−cosα ‎ cosα ‎ ‎−cosα ‎ sinα ‎−sinα ‎ 正切 tan α tanα ‎−tanα ‎−tanα 口诀 函数名不变，‎ 符号看象限 函数名改变，‎ 符号看象限 考向一 三角函数的定义 ‎1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．‎ ‎2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．‎ ‎3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．‎ ‎4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况.‎ 典例1 已知角的终边上有一点P（，m），且m，求与的值.‎ ‎【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．‎ ‎1．已知角的终边经过点,其中,则等于 A． B．‎ C． D．‎ 考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 ‎1．已知θ所在的象限，求或nθ（nN ）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有 ）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对 进行讨论，得到或nθ（nN ）所在的象限．‎ ‎2．象限角的判定有两种方法：‎ 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；‎ 二是先将此角化为 ·360°＋α（0°≤α<360°， ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．‎ ‎3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.‎ 典例2 已知, ,试确定角α是第几象限的角.‎ ‎【名师点睛】角与所在象限的对应关系：‎ 若角是第一象限角，则是第一象限角或第三象限角；‎ 若角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；‎ 若角是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角；‎ 若角是第四象限角，则是第二象限角或第四象限角．‎ ‎2．若，，则角是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考向三 同角三角函数基本关系式的应用 ‎1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．‎ ‎2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“‎1”‎，利用“”代换后转化为“切”后求解.‎ 典例3 已知，.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）当时，求的值.‎ ‎【解析】（1）由已知得，所以，∴，‎ 又，∴，∴.‎ ‎（2）当时，.①‎ 方法1：，∴，∴，‎ ‎∵，∴.②‎ 由①②可得，，∴.‎ 方法2：，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴或，‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎3．已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点，则__________．‎ 考向四 诱导公式的应用 ‎1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．‎ ‎2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．‎ ‎3．利用诱导公式化简三角函数式的思路：‎ ‎（1）分析结构特点，选择恰当公式；‎ ‎（2）利用公式化成单角三角函数；‎ ‎（3）整理得最简形式．‎ 利用诱导公式化简三角函数式的要求：‎ ‎（1）化简过程是恒等变形；‎ ‎（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ ‎4．巧用相关角的关系能简化解题的过程．‎ 常见的互余关系有与，与，与等；‎ 常见的互补关系有与，与等.‎ 典例4 已知,且，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴.‎ ‎∵，∴，则.‎ ‎∵，∴.故选A．‎ 典例5 （1）化简：；‎ ‎（2）化简：.‎ ‎【解析】（1）=.‎ ‎（2）原式.‎ ‎4．已知角的终边经过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ 考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用 与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：,，等，于是可得，等．‎ 典例6 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______，________.‎ ‎【答案】，‎ ‎5．在中，，求的值．‎ ‎1．与终边相同的角为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是 A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知扇形面积为，半径是l，则扇形的圆心角是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知，且，则角是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎5．若，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．若，，则 A．2 B．‎ C．3 D．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎8．已知，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎9．若，，则的值为 A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________，__________．‎ ‎11．在平面直角坐标系中,点的坐标为,是第三象限内一点,,且,则点的横坐标为_________.‎ ‎12．已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴对称后的点为,设角的终边为射线.‎ ‎（1）与的关系为_________;‎ ‎（2）若,则________.学 ‎ ‎13． 在中，，且cos A＝－ cos（π－B），则C等于 ．‎ ‎14．化简：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎15．已知.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的值.‎ ‎16．已知向量与互相平行，其中θ.‎ ‎（1）求sinθ和cosθ的值；‎ ‎（2）若sin（θ－φ）＝，0<φ<，求cosφ的值．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】B ‎2．【答案】D ‎【解析】由，得，又，所以，所以为第四象限角，选D．‎ ‎3．【答案】10‎ ‎【解析】根据角的终边过，利用三角函数的定义可以求得，‎ 所以有，故答案是10.‎ ‎4．【解析】因为角的终边经过点，设，，则，‎ 所以，，.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎5．【解析】∵ ①，∴，即，∴．‎ ‎∵，∴，．∴．‎ ‎∵，∴ ②．‎ ‎①+②，得．‎ ‎①−②，得．‎ ‎∴．‎ 考点冲关 ‎3．【答案】C ‎【解析】设扇形的圆心角是，则，解得，故选C．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】由可知，结合可得：，即，据此可得角是第四象限角.故选D.‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A，B错；由知，C正确；α取时，，D错．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】因为，所以即，选A． ‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】由诱导公式可得：，，即，由三角函数的定义可得：，则.故选B.‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】，即，‎ 则，故选D．‎ ‎9．【答案】C ‎【解析】由诱导公式得，两边平方得，则，所以，‎ 又因为，所以，所以，故选C．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】设,则,Q点的横坐标为.‎ ‎12．【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得点为单位圆上的点，并且以射线为终边的角的大小为， 所以 又因为两点关于直线对称，所以 ‎ 即则.‎ ‎（2）‎ ‎ 故 ‎ ‎14．【解析】（1）；‎ ‎（2） .‎ ‎15．【解析】(1)因为,所以.‎ ‎(2).‎ ‎16．【解析】（1）∵a与b互相平行，∴sinθ＝2cosθ，‎ 代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cosθ＝，‎ 又θ∈，∴cosθ＝，∴sinθ＝.‎ ‎（2）∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<，‎ 又sin（θ－φ）＝，∴cos（θ－φ）＝＝，‎ ‎∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）=.‎