【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的坐标表示学案 4页

专题5 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：‎ a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．‎ ‎2．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解 ‎[例]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ ‎ ‎ ‎(3)设O为坐标原点，‎ ‎∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，‎ 即M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ 即N(9,2)．‎ ‎∴＝(9，－18)．‎ ‎1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4) B．(7,4) ‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 解析：选A　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以解得从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.‎ ‎2．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.‎ 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－‎2m－4×3＝0.∴m＝－6.‎ 答案：－6 ‎ ‎ 3．　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ ‎1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A.a＋b B.－a－b C.a＋b D.a－b 解析：选A　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.‎ ‎2.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－‎3a，则点N的坐标为(　　)‎ A． (2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0)‎ 解析：选A　＝－‎3a＝－3(1，－2)＝ (－3,6)，‎ 设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，‎ 所以解得即N(2,0)．‎ ‎3.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)‎ A．－ B. C. D. 解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.‎ ‎4.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．‎ ‎5.已知＝a，＝b，＝c，＝d， ＝e，设t∈R，如果‎3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？‎ 解：由题设知，＝－＝d－c＝2b－‎3a，‎ ‎＝－＝e－c＝t(a＋b)－‎3a＝(t－3)a＋tb.‎ C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，‎ 使得＝k，‎ 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，‎ 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.‎ 若a，b共线，则t可为任意实数；‎ 若a，b不共线，则有 解得t＝.‎ 综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝.‎ ‎____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎