【数学】2021届一轮复习人教A版二阶导数在解高考函数题中的应用学案 5页

浅谈二阶导数在解高考函数题中的应用 ‎ ‎ 在历年高考试题中，导数部分是高考重点考查的内容，在六道解答题中必有一题是导数题。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：①求函数的定义域；②求函数的导数；③求的零点；④列出的变化关系表；⑤根据列表解答问题。‎ 而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。本文试以2018年全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。‎ 例1.（全国卷Ⅰ第20题） ‎ ‎ 已知函数.‎ （1） 若，求的取值范围；‎ （2） 证明：.‎ 原解答如下:‎ 解（1）函数的定义域为（0，+∞）， ，‎ ‎ ， ‎ ‎ .‎ ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 从而当时，，‎ ‎ 故所求的范围是[-1,+∞﹚.‎ 证明(2)由(1)知,,则 ‎ ① 时，；‎ ② ‎.‎ 综上可知，不等式成立.‎ 对于（2）的证明，虽然过程简单，但思维难度大，‎ 对学生的观察能力和代数式的变形能力要求较高。我们可以运用二阶导数的方法加以证明：‎ 证法二:令.‎ ‎ 因 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 显然当时，，‎ ‎ 当时，，‎ 在（0,1﹚递减；‎ 当时，，‎ 的符号仍不能判定，求二阶导数得 ‎，‎ 从而在时递增，‎ ‎，在[ 1,+∞﹚递增，‎ 所以当时，，‎ 故成立，原不等式成立.‎ 例题2（2018年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题）‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）设当时，，求的取值范围．‎ ‎（原解答略）在原解答第（Ⅱ）问的解答中，用到了放缩代换，对考生的数学素质和解题能力要求很高，极少有考生能达到那样的要求.若用求二阶导数求解，则别有一番天地.‎ ‎（Ⅱ）解法二：由题设，‎ 若，则当；‎ 若.‎ 令，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 即原不等式成立.‎ 当 从而当 此时，‎ ‎∴.‎ 综上可知，.‎ 由以上两个例子可以看出，当需要判定函数的单调性而求导之后不能直接判定导数的符号时（导函数中常含有指数或对数形式），常可以考虑用二阶导数法。建议高三教师在高考数学复习时，对学生适当加以针对此类题型的指导、训练。‎ 针对训练：‎ ‎1、（2018年新课标全国卷第（21）题）：‎ 设函数。‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若当时，求的取值范围 ‎2、（2018年湖南高考题改编）：‎ 已知函数，求函数的单调区间。‎ 参考答案：‎ ‎1、解：（1）略.‎ ‎（2）.‎ ‎①当 从而 ‎∴，‎ ‎②‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴,不合题意.‎ 综上可知 ‎2、解：的定义域是.‎ ‎（1）‎ ‎ .‎ 设 则.‎ ‎.‎ 当 当时，‎ 所以 函数上是减函数.‎ 当 当.‎ 所以，函数的单调递增区间是，递减区间是. ‎