第三节 基本不等式
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);
(2)+≥2(a,b同号且不为零);
(3)ab≤2(a,b∈R);
(4)2≤(a,b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x+的最小值是2.( )
(2)函数f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.( )
(4)若a>0,则a3+的最小值为2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.
对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.]
3.(2016·绍兴二模)若a,b都是正数,则的最小值为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
C [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号,故选C.]
4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( )
A.1+ B.1+
C.3 D.4
C [当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2
+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,选C.]
5.(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2. 【导学号:51062190】
25 [设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,
则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,
则y=x(10-x)≤2=25,
当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]
利用基本不等式求最值
(1)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.4
(2)(2017·湖州二次质量预测)已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是__________.
(1)C (2)3 [(1)由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当即a=,b=2时取“=”,所以ab的最小值为2.
(2)由x2+2xy-3=0得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.]
[规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.
2.在求最值过程中若不能直接使用基本不等式,可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形,使之能够使用基本不等式.
[变式训练1] (1)(2017·金华十校4月联考)已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式+≥m恒成立,则m的最大值等于( )
A.10 B.9
C.8 D.7
(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数m,n满足m·n>0,m+n=-1,则+的最大值为__________.
(1)B (2)-4 [(1)∵+=+=4+++1=5+2≥5+2×2=9,当且仅当a=b=时取等号.又+≥m,∴m≤9,即m的最大值等于9,故选B.
(2)∵m·n>0,m+n=-1,∴m<0,n<0,
∴+=-(m+n)
=-≤-2-2=-4,
当且仅当m=n=-时,+取得最大值-4.]
利用基本不等式证明不等式
已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
(1)++≥8;
(2)≥9.
[证明] (1)++=2,
∵a+b=1,a>0,b>0,
∴+=+=2++≥2+2=4,4分
∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).7分
(2)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1+=1+=2+,同理1+=2+,
∴=
=5+2≥5+4=9,12分
∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立).14分
法二:=1+++,
由(1)知,++≥8,12分
故=1+++≥9.14分
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.
2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练2] 设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.
[证明] 由于a,b均为正实数,
所以+≥2=,4分
当且仅当=,即a=b时等号成立,
又因为+ab≥2=2,
当且仅当=ab时等号成立,
所以++ab≥+ab≥2,12分
当且仅当即a=b=时取等号.14分
基本不等式的实际应用
运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
[解] (1)设所用时间为t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].4分
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈.
(或y=+x,x∈).6分
(2)y=+x≥26 ,
当且仅当=x,
即x=18,等号成立.12分
故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.14分
[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
[变式训练3]
某化工企业2016年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).
(1)用x表示y;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.
[解] (1)由题意得,
y=,
即y=x++1.5(x∈N*).6分
(2)由基本不等式得:
y=x++1.5≥2+1.5=21.5,12分
当且仅当x=,即x=10时取等号.
故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.14分
[思想与方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.
2.基本不等式的两个变形:
(1)≥2≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).
(2)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
[易错与防范]
1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽视它往往会导致解题错误.
3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
课时分层训练(三十二) 基本不等式
A组 基础达标
(建议用时:30分钟)
一、选择题
1.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
C [由于x>-1,则x+1>0,所以y=x+=(x+1)+-1≥2-1=1,当且仅当x+1=,由于x>-1,即当x=0时,上式取等号.]
2.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B [因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而+≥2⇔ab>0,所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.]
3.(2017·金华十校联考)函数f(x)=ax-1-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx-ny-1=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.3+2
D [由题意知A(1,-1),因为点A在直线mx-ny-1=0上,所以m+n=1,所以+=(m+n)=3++,
因为m>0,n>0,
所以+=3++≥3+2
=3+2.
当且仅当=时,取等号,故选D.]
4.(2017·湖州二模)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为( )
【导学号:51062191】
A.4 B.2
C.8 D.16
B [由a>0,b>0,a+b=+=,
得ab=1,
则+≥2=2.当且仅当=,即a=,b=时等号成立.故选B.]
5.(2017·杭州二中月考)若a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg
,则( )
A.R
b>1,∴lg a>lg b>0,
(lg a+lg b)>,
即Q>P.∵>,∴lg>lg=(lg a+lg b)=Q,即R>Q,∴P0),若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p的值为__________.
[由题意得x-1>0,f(x)=x-1++1≥2+1,当且仅当x=+1时取等号,所以2+1=4,
解得p=.]
8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=__________吨.
20 [每次都购买x吨,则需要购买次.
∵运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×+4x万元.
∵4×+4x≥160,当且仅当4x=时取等号,
∴x=20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.]
三、解答题
9.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;
(2)设00,
∴+≥2=4,4分
当且仅当=,即x=-时取等号.
于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.6分
(2)∵00,
∴y==·≤·=,10分
当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,
∴当x=1时,函数y=的最大值为.15分
10.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值. 【导学号:51062192】
[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,2分
又x>0,y>0,
则1=+≥2 =,得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.6分
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++
≥10+2 =18.10分
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.15分
B组 能力提升
(建议用时:15分钟)
1.要制作一个容积为4 m3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元
C.160元 D.240元
C [由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,
所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m.又设总造价是y元,则
y=20×4+10×≥80+20=160.
当且仅当2x=,即x=2时取得等号.]
2.(2017·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a>0,b>0,a+b-2a2b2-6=0,则+的最小值是________,此时ab的值为________.
4 [∵a>0,b>0,a+b=2a2b2+6,∴+==+2ab≥4,当且仅当=2ab,即ab=时,+取到最小值4.]
3.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t
天(1≤t≤30,t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N*)的函数关系式;
(2)求该城市旅游日收益的最小值.
[解] (1)W(t)=f(t)g(t)=(120-|t-20|)
=6分
(2)当t∈[1,20]时,401+4t+≥401+2=441(t=5时取最小值).9分
当t∈(20,30]时,因为W(t)=559+-4t递减,
所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=443,12分
所以t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.15分