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- 2021-06-16 发布
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18.2 不等式的证明(一)
典例精析
题型一 用综合法证明不等式
【例1】 若a,b,c为不全相等的正数,求证:
lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.
【证明】 由a,b,c为正数,得
lg ≥lg ;lg ≥lg ;lg ≥lg .
而a,b,c不全相等,
所以lg +lg +lg >lg +lg +lg =lg =lg(abc)=lg a+lg b+lg c.
即lg +lg +lg >lg a+lg b+lg c.
【点拨】 本题采用了综合法证明,其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理),在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中,还要特别注意等号成立的条件是否满足.
【变式训练1】已知a,b,c,d都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1.求证:|ac+bd|≤1.
【证明】因为a,b,c,d都是实数,
所以|ac+bd|≤|ac|+|bd|≤+=.
又因为a2+b2=1,c2+d2=1,所以|ac+bd|≤1.
题型二 用作差法证明不等式
【例2】 设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).
【证明】a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2
=[(a-b)2-c2]+[(b-c)2-a2]+[(c-a)2-b2].
而在△ABC中,<c,所以(a-b)2<c2,即(a-b)2-c2<0.
同理(a-c)2-b2<0,(b-c)2-a2<0,所以a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0.
故a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).
【点拨】 不等式的证明中,比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法,而在牵涉到三角形的三边时,要注意运用三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
【变式训练2】设a,b为实数,0<n<1,0<m<1,m+n=1,求证:+≥(a+b)2.
【证明】因为+-(a+b)2=-
=
==≥0,
所以不等式+≥(a+b)2成立.
题型三 用分析法证明不等式
【例3】已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.
求证:(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).
【证明】因为a、b、c∈R+,且a+b+c=1,所以要证原不等式成立,
即证[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]
≥8[(a+b+c)-a][(a+b+c)-b][(a+b+c)-c],
也就是证[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①
因为(a+b)+(b+c)≥2>0,
(b+c)+(c+a)≥2>0,
(c+a)+(a+b)≥2>0,
三式相乘得①式成立,故原不等式得证.
【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发,分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法,概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法,分析后再用综合法书写证题过程.
【变式训练3】设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1)(x>-1,a≥0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求证:当m>n>0时,(1+m)n<(1+n)m.
【解析】(1)f′(x)=1-aln(x+1)-a,
①a=0时,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数;
②当a>0时,f(x)在(-1,-1]上单调递增,在[-1,+∞)单调递减.
(2)证明:要证(1+m)n<(1+n)m,只需证nln(1+m)<mln(1+n),只需证<.
设g(x)=(x>0),则g′(x)==.
由(1)知x-(1+x)ln(1+x)在(0,+∞)单调递减,
所以x-(1+x)ln(1+x)<0,即g(x)是减函数,
而m>n,所以g(m)<g(n),故原不等式成立.
总结提高
1.一般在证明不等式的题目中,首先考虑用比较法,它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”,用得较多的是“作差比较法”,其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.
2.用综合法证明不等式的过程中,所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等,如基本不等式、绝对值三角不等式等.
3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换,它是从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立.
4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式,而不是真正意义上的证明方法,并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段),而只是两种互逆的证明题的书写格式.