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- 2021-06-16 发布
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吉林省长春市榆树市第一高级中学校2019-2020学年
高二下学期联考(理)试卷
一、单选题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足,则=( )
A. B.
C. D.
2.下列推理过程不是演绎推理的是( )
①一切奇数都不能被2整除,2019是奇数,2019不能被2整除;
②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方;
③在数列中,,由此归纳出的通项公式;
④由“三角形内角和为”得到结论:直角三角形内角和为.
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
3.把五个字母进行排列,要求必须在中间,且必须相邻,则满足条件的不同排法数为( )
A.24 B.12 C.8 D.4
4.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是( )
A. B. C. D.
5.已知为实数,,若,则函数的单调递增区间
为( )
A. B. C. D.
6.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.60
7.由直线x=﹣2,x=2,y=0及曲线y=x2﹣x所围成的平面图形的面积为 ( )
A. B. C. D.
8.点是曲线,(为参数)上的任意一点,则的最大值为( )
A. B. C.3 D.
9.计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有
( )
A.种 B.种 C.种 D.种
10.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
11.已知随机变量的分布列如下:
-1
0
1
若,则( )
A. B. C.1 D.
12.已知为定义在R上的可导函数,为其导函数,且恒成立,则( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.曲线在点处的切线方程为____________.
14.已知随机变量,若,则__________.
15.观察式子,,,则可以归纳出
___.
16.国产杀毒软件进行比赛,每个软件进行四轮考核,每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是,,,,且各轮考核能否通过互不影响.则该软件至多进入第三轮考核的概率为______.
三、解答题:本题共6小题,17题10分,18-22题每小题12分,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
17.(本小题10分)
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线与直线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于,两点,点,求的值.
18.(本小题12分)
已知数列的前项和为,,满足.
(Ⅰ) 计算,,,;
(Ⅱ)求的通项公式.
19.(本小题12分)
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
20.(本小题12分)
某企业生产某种产品,为了提高生产效益,通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革,并对改革后该产品的产量x(万件)与原材料消耗量y(吨)及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录,以便和改革前作对照分析,以下是记录的数据:
表一:改革后产品的产量和相应的原材料消耗量
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
表二:改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数
合格品的数量
不合格品的数量
合计
改革前
90
10
100
改革后
85
15
100
合计
175
25
200
(1)请根据表一提供数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.
(2)已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料,根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料?
(3)请根据表二提供的数据,判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”?
参考公式:
(下面的临界值表供参考)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式 其中)
21.(本小题12分)
箱中装有3个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球,假设每个球被取出的可能性都相等,记随机变量为取出的2个球所得分数之和.
(1)若,求的值;
(2)当时,列出的分布列并求其期望.
22.(本小题12分)
(1)讨论函数的单调性并求极值;
(2)令函数,若时,,求实数的取值范围
【参考答案】
1.B 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A
7.B 8.D 9.B 10.A 11.B 12.C
13. 14.
15. 16.
17.解:(1)因为曲线的参数方程为(为参数),
所以其直角坐标方程为,
∵直线的极坐标方程为,∴,
∴其直角坐标方程为; ……………………6分
(2)直线过点且参数方程可表示为(为参数),
代入曲线的方程,得,
则,,
∴. ……………………12分
18.解:(Ⅰ),
,,. …………………6分
(Ⅱ)猜想,下面用数学归纳法证明猜想成立.
(1) 当时,左边右边,此时猜想成立;
(2)假设当时猜想成立,即,其中.
那么根据已知条件和归纳假设有
,
即当时猜想也成立.
根据(1)和(2)可知,猜想对于一切都成立. …………………12分
19.解:二项式展开式的通项公式为
,;
(1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
,即,解得; ……………………6分
(2)二项式展开式的通项公式为
,;
当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为
,,
. ……………………12分
20.解:(1)由表一得,
,
∴,
,
所以所求线性回归方程为. ……………………4分
(2)当时,,
从而能够节省吨原材料. ……………………8分
(3)由表二得,
因此,没有的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”. ……………12分
21.解:(1)由题意,当取出的2个球都是白球时,此时随机变量.
可得,即,即,
解得. ……………………6分
(2)由题意,随机变量所有可能的取值为,
可得,,,
所以随机变量的分布列为:
2
3
4
所以. ……………………12分
22.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x).
② 当a≤0时,f′(x)<0,可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)>0得:0<x,可得函数f(x)在(0,)上单调递增.
由f′(x)<0,得:x,可得函数f(x)在(,+∞)单调递减,
∴函数f(x)在x时取极大值为:f()=alna﹣2a;无极小值. ……………4分
(2)由题意有g(x)=alnx﹣ex+ex,x∈[1,+∞).
g′(x).
①当a≥0时,g′(x).
故当x∈[1,+∞)时,g(x)=alnx﹣ex+ex为单调递增函数;
g(x)≥g(1)=0,符合题意.
②当a<0时,g′(x),令函数h(x),
由,∈[1,+∞),
可知:g′(x)为单调递增函数,
又g′(1)=a<0,g′(x),
当x时,g′(x)>0.
∴存在x0∈(1,)使g′(x0)=0,
因此函数g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
又g(1)=0,∴当x∈(1,x0)时,g(x)<0,不符合题意.
综上,所求实数a的取值范围为[0,+∞). ……………………12分