【数学】辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟考试试题（理） 14页

辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟考试 数学试题（理）‎ 参考答案 一、单选题 ‎1-6 B D B C A B 7--12 D A C B D C ‎.二、填空题 ‎13． -160 14. 15． 16． .‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由三角函数定义，可知，，‎ 所以. …4分 ‎（2）由三角函数定义，知，所以，‎ 所以， …6分 因为，所以，即， …8分 于是，所以的取值范围是. …10分 当时，，即，解得，…11分 易知四边形为菱形，此时菱形的面积为. …12分 ‎18．解：(1)2×2 列联表  ‎ ‎ 年龄低于 45 岁的人数 ‎ 年龄不低于 45 岁的人数 ‎ 合计 ‎ 了解 ‎  a=3‎ ‎  c=29‎ ‎  32‎ ‎ 不了解 ‎  b=7‎ ‎  d=11‎ ‎  18‎ ‎ 合计 ‎  10‎ ‎  40‎ ‎  50‎ ‎…3分, …4分 ‎ …5分 所以没有 99% 的把握认为以 45 岁为分界点对了解 《 民法总则 》 政策有差异． …6分 ( 2 )X 所有可能取值有 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ‎ ‎;;‎ ‎;; …10分 所以 X 的分布列是  ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎…11分 ‎ 所以 X 的期望值是 . …12分 ‎19． 证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．如图，∵三棱柱的所有棱长均为2，，‎ ‎∴和是边长为2的等边三角形，且．∴，．‎ ‎∵，平面，，∴平面． …3分 ‎∵平面，∴．‎ ‎∵，平面，，‎ ‎∴平面，∴． …6分 ‎（Ⅱ）∵平面平面，且交线为，‎ 由（Ⅰ）知，∴平面． …8分 则，，两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，得．…10分 设与平面所成的角为，则．…11分 ‎∴与平面所成角的余弦为． …12分 ‎20．解：（1）设，由题意得，整理化简得，‎ 曲线方程为. …4分 ‎（2）设直线的方程为，设，直线的方程为，同理，…5分 所以，即， …7分 联立，‎ 所以， …9分 代入得，…11分 所以点都在定直线上. …12分 ‎21．解：（1）当时，，，，‎ ‎，…2分 所以函数在处得切线方程为． …4分 ‎（2）因为，，，‎ 所以．‎ ‎①若，则，在上是单调增函数， …5分 所以在上至多一个零点，与题意不符合．‎ ‎②若，令，得．‎ ‎0‎ 极小值 ‎（ⅰ）若，即时，有且仅有一个零点，与题意不符．‎ ‎（ⅱ）若，即时，，，‎ 又，且的图像在上不间断，‎ 所以存在，使得．‎ 此时，在恰有两个不同得零点和．‎ 所以符合题意．‎ ‎（ⅲ）若，即时，．‎ 令，，，‎ 所以在上是单调增函数，，‎ 所以在上是单调增函数，．‎ 所以，且，的图像在上不间断，‎ 所以存在，使得．‎ 此时，在恰有两个不同得零点和．‎ 所以符合题意．‎ 综上所述，实数的取值范围是或． …9分 ‎（3）依题意，．‎ 则，令，，，‎ 所以在上是单调增函数．‎ 要使得在上存在极值，‎ 则须满足即 所以，，即．‎ 由（2）可知，当时，，所以，．‎ 所以，即，‎ 所以． …12分 ‎22．解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 消去得，将，‎ 代入上式得曲线的极坐标方程，…3分 整理得； …3分 因为，‎ 所以曲线的普通方程为． …6分 ‎（Ⅱ）因为在曲线上，‎ 所以将的参数方程（为参数）．‎ 代入到的直角坐标方程，得， …8分 设分别为点对应的参数，则有，‎ 由参数的几何意义得． …10分 ‎23．解：（1）∵，…2分 ‎∵存在，使得，∴，∴. …6分 ‎（2）由（1）知：的最大值为1，∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴.…9分 当且仅当时取“=”. …10分