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- 2021-06-16 发布
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2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A=-1,0,1,2,B=x00的解集是（ ）
A. -1,1
B. -∞,-1∪1,+∞
C. 0,1
D. -∞,0∪1,+∞
7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）
A.经过点O
B.经过点P
C.平行于直线OP
D.垂直于直线OP
8．在等差数列an中，a1=-9，a5=-1，记Tn=a1a2…ann=1,2,…,则数列Tn（ ）
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
9．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α=kπ+-1kβ”是“sinα=sinβ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）.历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值，按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）
A.3n（sin30°n+tan30°n）
B.6n（sin30°n+tan30°n）
C.3n（sin60°n+tan60°n）
D.6n（sin60°n+tan60°n）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数f(x)=1x+1+lnx的定义域是_________.
12．已知双曲线C:x26-y23=1，则C的右焦点的坐标为_________: C的焦点到其渐近线的距离是_________.
13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则PD=_________；PB⋅PD=_________.
14．若函数f(x)=sin(x+φ)+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为_________.
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
② 在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③ 在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④ 甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
综合题分割
16．(本小题13分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，
(Ⅰ)求证: BC1∥平面AD1E；
(Ⅱ)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。
综合题分割
17．(本小题13分)
在△ABC中，a+b=11, 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求:
(I) a的值；
(II) sinC 和△ABC的面积.
条件①: c=7, cosA=-17;
条件②: cosA=18，cosB=916。
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。
综合题分割
18.（本小题14分）
某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立。
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0。假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小。（结论不要求证明）
综合题分割
19．（本小题15分）
已知函数f(x)=12-x2。
（Ⅰ）求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；
（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值.
综合题分割
20．（本小题15分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A(-2,-1)，且a=2b。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q.求|PB||BQ|的值.
综合题分割
21.（本小题15分）
已知{an}是无穷数列，给出两个性质：
①对于{an}中任意两项ai,aj(i＞j)，在{an}中都存在一项am，使得ai2aj=am；
②对于{an}中任意一项an(n≥3)，在{an}中都存在两项ak,al(k＞l)，使得an=ak2al.
（Ⅰ）若an=n(n=1,2,...)，判断数列{an}是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若an=2n-1(n=1,2,...)，判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若{an}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{an}为等比数列.
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