【数学】福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查试题（文）（解析版） 15页

福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为集合，所以，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎3.已知，，（其中为自然对数的底数），则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，则；‎ 因为，则；‎ 因为，则；‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎4.已知平面向量与满足，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因，所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎5.一个盒子中装有个大小、形状完全相同的小球，其中个白球，个红球，个黄球，若从中随机取出个球，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：‎ 共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有：‎ 共10个基本事件，‎ 所以两次取出小球颜色不同的概率为.‎ 故选：A.‎ ‎6.已知椭圆：过点，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为椭圆的离心率为，所以，‎ 因为椭圆过点，所以，‎ 又，解得：，‎ 所以焦距为.‎ 故选：B.‎ ‎7.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象．下列关于函数的说法正确的是（ ）‎ A. 在上是减函数 B. 在区间上值域为 C. 函数是奇函数 D. 其图象关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】对A，因为，所以，所以的递减区间为，不是递减区间的子区间，故A错误；‎ 对B，因为，所以，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为，故B错误；‎ 对C，因为，所以函数为偶函数，故C错误；‎ 对D，当时，，故D正确；‎ 故选：D.‎ ‎8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中为松长、为竹长，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得：的输入值分别为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 此时，终止循环，输出.‎ 故选：C.‎ ‎9.函数在上的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以函数为奇函数，故排除B,C选项；当时，，所以，故排除D；‎ 故选：A.‎ ‎10.给出下列四个命题：‎ ‎①，使得；‎ ‎②是恒成立的充分条件；‎ ‎③函数在点处不存在切线；‎ ‎④函数存在零点．‎ 其中正确命题个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对①，当时，显然成立，故①正确；‎ 对②，当恒成立时，或解得：，‎ 因为推不出，所以不是恒成立的充分条件，故②错误；‎ 对③，因为，所以，所以切线方程为，故③错误；‎ 对④，因为，所以函数在存在零点，故④正确；‎ 故选：B.‎ ‎11.在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，‎ 所以，即，‎ 因为，‎ 所以，等号成立当且仅当.‎ 故选：B.‎ ‎12.已知定义在R上的连续函数满足，且，为函数的导函数，当时，有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式构造函数，再利用导数研究函数在的单调性，再根据对称性得到的图象特征，将不等式化为：或即可得到答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 在单调递增，‎ ‎，‎ 当时，，当时，，‎ 又，当时，，当时，，‎ 又满足，‎ 图象关于直线对称，‎ 当时，，当时，，‎ 不等式等价于或 解得：.‎ 故选：D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴，即 ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为.‎ ‎14.已知函数公差为等差数列，若，，成等比数列，则________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，，成等比数列，‎ 所以，‎ 所以，解得：，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知直三棱柱的高为，，，则该三棱柱外接球的表面积为________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设上下底面的外心分别为，则球心为的中点，则，‎ 因为底面外接圆半径为外接球的半径 所以外接球的表面积为：.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，为直线与双曲线的一个交点，若点在以为直径的圆上，则双曲线的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，代入化简得，由已知得，则.‎ 因为 所以，‎ 又，整理得：，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对照数据．‎ ‎（吨）‎ ‎（吨）‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（，）‎ ‎（2）已知该厂技术改造前生产吨甲产品的生产能耗为吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？‎ 解：（1）, ‎ ‎ ‎ 则所求的方程为 ‎(2)把代入回归方程可预测相应的生产能耗是，‎ 吨， 所以，预测生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.‎ ‎18.已知等比数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ 解：（1）当时，. ‎ 当时，, ‎ 因为是等比数列，所以满足式，所以，即， ‎ 因此等比数列的首项为1,公比为2,‎ 所以等比数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知， ‎ 则,即， ‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎19.如图，在几何体中，四边形为矩形，且，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．‎ ‎（1）证明：如图，取A1B1中点F，连接EF，FC1， ‎ ‎∵E为AB1中点，∴EF//A1A且EF= A1A， ‎ ‎∵AA1∥CC1且AA1=2CC1，‎ ‎∴EF//CC1且EF=CC1，即四边形EFC1C为平行四边形，‎ ‎∴CE∥C1F. ‎ ‎∵，，‎ ‎∴CE∥平面A1B1C1. ‎ ‎（2）解：∵平面AB B1A1⊥平面ABC，交线为AB 又矩形AB B1A1中A A1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC， ‎ ‎∵AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC， ‎ ‎∵BB1∥CC1，，，‎ ‎∴BB1∥，‎ ‎∴‎ ‎20.已知抛物线：准线为，焦点为，点是抛物线上位于第一象限的动点，直线（为坐标原点）交于点，直线交抛物线于、两点，为线段中点．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）试问直线的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．‎ 解：（1）抛物线的准线为，的焦点为，‎ 由及抛物线定义得点横坐标为4， ‎ 由点位于第一象限内且在抛物线上得点坐标为，‎ 于是=1，则直线OA的方程为，与准线联立解得，‎ 因此=，所以直线的方程为，即.‎ ‎（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为，与准线联立 解得，于是，‎ 由已知，故设直线的方程为，与联立并消去得， ，其中.‎ 设，则，则 ，‎ 由于为线段中点，于是点坐标为， ‎ 直线OA的方程，与联立解得，‎ 所以直线的斜率为0，综上可知直线的斜率为定值0.‎ ‎21.已知函数，其中．‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，试证明：．‎ 解：（1）由 知： ‎ ‎（i）若，，∴ 在区间上为增函数． ‎ ‎（ii）若，‎ ‎∴当时，有，∴ 在区间上为减函数． ‎ 当时，有，∴ 在区间上为增函数． ‎ 综上：当时，在区间上为增函数；‎ 当时，在区间上为减函数；在区间上为增函数． ‎ ‎（2）若，则 要证，只需证，‎ 即证：.‎ ‎（i）当时，，而 ‎∴此时成立.‎ ‎（ii）当时，令，，‎ ‎∵ ，‎ 设，‎ 则 ‎ ‎，∴ ‎ ‎∴当时，单调递增，∴，即 ‎∴在单调递增，∴ ‎ 即，即，‎ ‎∴ ‎ 综上：当时，有成立.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：（为参数），，为直线上距离为的两动点，点为曲线上的动点且不在直线上．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程．‎ ‎（2）求面积的最大值．‎ 解：（1）直线的极坐标方程化成，‎ ‎，直线的直角坐标方程为，‎ 曲线的参数方程化成：.‎ 平方相加得，即 ‎（2）设点，则到直线的距离为：‎ ‎，‎ 当时，，‎ 设的面积为，则.‎ ‎23.已知函数，若的解集为．‎ ‎（1）求并解不等式；‎ ‎（2）已知：，若对一切实数都成立，求证：．‎ 解：（1）由可得：，即，‎ 解集为，所以.‎ 当时，不等式化成，解得：‎ 当时，不等式化成，解得：‎ 综上所述，解集为…‎ ‎（2）由题意得对一切实数恒成立，‎ 从而，‎ ‎，‎ 的最小值为3.‎ ‎，又，‎ ‎.‎ ‎ ‎